Partiel Analyse Complexe + Correction | Fonction holomorphe - Série

Thèmes :

Exercice 1: Rayon de convergence / Série / Série entière / Série de Taylor / Série de Laurent / Fonction holomorphe

Extrait :

Partiel Analyse Complexe + Correction | Fonction holomorphe – Série

– Dans les énoncés « déterminer » signifie « déterminer en le justifiant ».
– Barême indicatif : 2,3,4,2,2,3,4. Ne méritent des points que des textes constitués de démonstrations
rédigées de manière correcte et complète.
1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { 8 }^{ n } } { z }^{ 3n }$
2. Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { 5 }^{ n } } { z }^{ { n }^{ 2 } }$
.
3. Soit le rayon de convergence d’une série entière $\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { { a }_{ n } } } { z }^{ { n } }$ et le rayon de convergence
d’une série entière $\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { b_{ n } } } { z }^{ { n } }$ . Soit alors le rayon de convergence de la série
$\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { ({ a }_{ n } } } +{ b }_{ n }){ z }^{ n }$ . Prouver ${ { R } }_{ 3 }\ge inf({ R }_{ 1 },{ R }_{ 2 })$ et donner un exemple avec l’inégalité stricte.
4. Déterminer la série de Taylor de la fonction Logz au point ${ z }_{ 0 }=2i$ .
5. Déterminer la série de Laurent pour |z| > 1 de
$\frac { 1 }{ { z }^{ 5 }-{ z }^{ -5 } }$
.
6. Soit $\lambda$ et μ deux nombres réels, et soit F la fonction de z = x + iy définie par
$F(z)={ x }^{ 3 }+\lambda x{ y }^{ 2 }+i(-{ y }^{ 3 }+\mu { x }^{ 2 }y)$
Déterminer les valeurs de $\lambda$ et μ pour lesquelles F est une fonction entière. Identifier F
lorsque cela est le cas.
7. Soit f une fonction holomorphe sur D(0, 1) vérifiant :
x ∈]−1,+1[ ==> (f(x) ∈ R et f(ix) ∈ R)
Montrer que f est paire.
Université Lille 1 — UFR de Mathématiques
Licence de Mathématiques
(L3, S5, année 2006–2007)
M305 : PARTIEL DU 15 NOVEMBRE 2006
CORRIGÉ
– Dans les énoncés « déterminer » signifie « déterminer en le justifiant ».
– Barême indicatif : 2,3,4,2,2,3,4. Ne méritent des points que des textes constitués de démonstrations
rédigées de manière correcte et complète.
1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière
$\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { 8 }^{ n } } { z }^{ 3n }$
Le terme général est ${ 8 }^{ n }{ z }^{ 3n }=(2z{ ) }^{ 3n }$ . On a $|2z{ | }^{ 3n }\longrightarrow \infty$
pour $|z|>\frac { 1 }{ 2 }$ donc le rayon de
convergence est au plus $\frac { 1 }{ 2 }$