Partiel Suites et Séries de Fonctions | Continuité – Convergence absolue

Thèmes :

Questions de cours: Série alternée / Théorème de convergence des séries alternées / Reste / Continuité
Exercice 1: Suite de fonction / Convergence simple / Limites / Convergence uniforme / Série /
Exercice 2: Série / Majoration / Reste d’odre n / Série absolument convergente / Série uniformément convergente / Continuité / Dérivabilité / Intégrale

Extrait :

L2 Math-Info Annéc 2006-2007
Suites at séries de fonctions
Examen pantie] du 23 Mars 2007

Les documents, cahzulettes et vinis sont interdits

Questions préliminaires ( 4 points)

0.1 On considère une série alternée de terme générai avec
0.1 Enoncer le théorème de convergence des séries alternées .
0.1‘b. Montrer que si la série vérifie les conditions du 0.1.a alors le reste ordre n

de la série alternée est majoré en module par
0.2. Montrer que la fonction est continue sur ℝ

Exercice 1 (8 points)

Soit la suite de fonction avec définie par
1.1. On cherche tout d’abord à étudier la suite en fonction de

1.1.a Etudier la convergence simple sur ℝ de la suite de fonction en distinguant les trois cas , et Pour chaque cas,on donnera l’expression de la fonction limite f et le domaine de ℝ où la convergence a lieu.
1.1.b Dans le cas où que Peut-on dire de la fonction limite f? Qu’on déduire à propos de la convergence uniforme sur ℝ de la suite de fonctions ?
1.1.c Dans le cas où.Etudier les variation de la fonction.En déduire les valeurs de pour lesquelles la suites de fonction convergence uniformément sur ℝ vers la fonction nulle
1.2 Dans le cas où,on cherche à étudier la série en fonction de
1.2.a Déterminer les cas pour les quels la séries convergente normal sur ℝ
1.2.b En déduire que ,pour les coefficients déterminés à la question précédente,la fonction F définie par
pour x ∈ ℝ est continue sur ℝ.On citera précisément le résultat utilisé.

Exercice 2
On pose pour x réel ℝ en n > 0

2.1. Montrer que pour tout x réel, la série (x) n’est pas absolument convergente et donner une majoration de son reste d’ordre n,
2.2 Montrer que pour tout x réel,la série n’est pa absolument convergente.
2.3 Montrer que la série de fonctions est uniformément convergente sur tout segment de R.
On note u sa somme,définie pour x réel par
2.4 La série de fonction est-elle normalement convergente sur ℝ.Est-elle uniformément convergente sur ℝ

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