Partiel Séries-Intégrations | Cauchy-Schwarz – Continuité

Thèmes :

Questions de cours: Convergence / Convergence absolue / Intégrale / Continuité / Produit de Cauchy / Espace normé complet / Convergence simple / Convergence Uniforme / Convergence normale
Exercice 1: Intégrale impropre
Exercice 2: Intégrale impropre
Exercice 3: Série / Cauchy Schwartz
Exercice 4: Convergence simple / Suite de fonction / Convergence uniforme
Exercice 5: Convergence normale / Convergence uniforme
Exercice 6: Dérivabilité

Extrait :

Partiel de Mathématiques – Séries (3h00)
(La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront
pour une part importante dans l’appréciation des copies)
Questions de cours :
1) Donner les définitions de la convergence et de la convergence absolue, d’une intégrale +1
a
, où f : ℝ est une fonction continue.
2) Donner la définition du produit de Cauchy de deux séries
et
où et sont
des éléments d’une algèbre normée.
3) Soient X un ensemble et soit E un espace normé complet. Soit une suite d’applications
E. Donner les définitions des notions de converge simple, de convergence uniforme et
de convergence normale de la série
. Quelles sont toutes les implications entre ces notions?
4) Soient I un ouvert de ℝ. Soit une suite d’applications ℝ. Donner des
conditions suffisantes pour que l’on ait

Exercice 1 :
Étudier la nature des integrales impropres suivantes :
, , ,
Exercice 2 :
Soit l’intégrale impropre suivante : B(x,y) =
1) Vérifier que B(x,y) = B(y,x).
2) Montrer que l’intégrale B(x,y) a un sens si et seulement si x > 0 et y > 0.
3) Calculer (Indication : utiliser le changement de variable ).
Exercice 3 :
Soit une série à termes positifs qui supposée convergente.
1) Montrer que la série est convergente pour ® > 1.
2) On pose . Montrer que , où M est une constante à déterminer.
[Indication : utiliser l’inégalité de Cauchy-Schartz
].
3) Soit
a) Vérifier que
en déduire que
b) Montrer que la série de terme général
c) Déduire de a) et b), que la série

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