Partiel Probabilité | Boule – Espérance

Thèmes :

Exercice 1: Urne / Boule / Indiscernable au toucher / Tirage avec remise / Variable aléatoire / Loi de X / Espérance / Variance / Loi de probabilité
Exercice 2: Dé équilibré / Progression géométrique / Variable aléatoire / Loi conditionnelle / Indépendance

Extrait :

Exercice 1 : Une urne contient une boule blanche et une boule noire, les boules noires étant indiscernables au toucher. On y prélève une boule, chaque boule ayant la même probabilité
d’être tirée, on note sa couleur, et on la remet dans l’une avec c boules de la couleur de la boule tirée. On répété cette épreuve, on réalise ainsi une succession de n tirages

Etude du cas c = 0

On effectue donc dans ce cas n tirages avec remise de la boule dans l’urne.
On note X la variable aléatoire réelle égale au nombre de boules blanches obtenues au cours
des n tirages et Y la variable aléatoire définie par :

Y = k si on obtient une boule blanche pour la première fois au k-ième tirage.

Y = O si les n boules tirées sont noires.

1. Déterminer la loi de X. Donner la valeur de E(X) et V(X).
2. Pour k ∈ déterminer la probabilité P(Y = k)
Calculer P(Y = 0)( on ne calculera pas cette probabilité à l’aide de 2. )

4. Vérifier que:

Etude du cas c ≠ 0

On considère les variables aléatoires définies par :

si on obtient une boule blanche au i-eme tirage.

= 0 sinon.

On considère alors la variable aléatoire Z₂ , par
1. Que représente concrètement la variable aléatoire Z₂ ?
2. Donner la loi de X₁ .puis donner l’espérance E(X₁) de X].
3. Déterminer la loi du couple (X₁X₂). En déduire la loi de X₂ puis E(X₂)
4. Déterminer la loi de profitabilité de Z,

Exercice 2 :

1. Un dé A parfaitement équilibré porte les nombres 1 sur 4 faces et -2 sur les deux
autres faces. Soit X la VAR qui à lancer de dé associe le nombre obtenu.
Déterminer P(X = 1) et P(X = -2)

1. Un dé B porte les nombres -2, -l, 0, l, 2 et 3. Ce dé n’est pas équilibré. Les
probabilités d’apparition de chaque face forment, dans l’ordre indiqué précédemment
une progression géométrique de raison ½

a) Montrer qu’avec le dé B, la probabilité d’obtenir le nombre -2 est égale à
b) En déduire la probabilité d’obtenir’ les autres nombres avec le dé B.

2. On lance une fois simultanément, les deux dés A et B et on désigne par S la variable aléatoire qui au lancer des deux dés associe la valeur absolue de la somme des nombres obtenues.

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