Partiel Calcul Matriciel | Décomposition LU - Décomposition QR

Thèmes :

Questions de cours: Décomposition LU
Exercice 1: Décomposition LU / Décomposition QR
Exercice 2: Résolution système A.x=b

Extrait :

Partiel Calcul Matriciel | Décomposition LU – Décomposition QR

Dans quel cas une matrice admet-elle une décomposition LU ? Cette décomposition est-
elle unique ?
I
Soit les matrices A et B suivantes:
$A=\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & -1 \\ -2 & -5 & 3 \\ -1 & -3 & 0 \end{matrix} \right]$ $B=\left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 2 \\ -2 & -6 & 1 \\ 2 & 5 & 7 \end{matrix} \right]$

a – Décomposer A et B par la méthode LU.
b – Décomposer A et B par la méthode QR.

II
On cherche à résoudre le système Ax = b avec

$A=\left( \begin{matrix} 10 & 7 & 8 & 7 \\ 7 & 5 & 6 & 5 \\ 8 & 6 & 10 & 9 \\ 7 & 5 & 9 & 10 \end{matrix} \right)$ $b=\left( \begin{matrix} 32 \\ 23 \\ 33 \\ 31 \end{matrix} \right)$

a)Que les méthodes de résolution pouvez-vous utilise pour
ce systéme ?
b) Même question pour le couple (A,b)

$A=\left( \begin{matrix} 4 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{matrix} \right)$ $b=\left( \begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 6 \\ 6 \\ 5 \end{matrix} \right)$