Examen Algèbre Bilinéaire – 2007 – N°1 – Niveau L2

Thèmes :

Exercice 1: Base canonique / Forme bilinéaire symétrique / Forme canonique / Méthode de Gauss / Rang / Signature / Forme bilinéaire non dégénérée
Exercice 2: Produit scalaire / Endomorphisme / Matrice / Base canonique / Isométrie / Hyperplan /
Exercice 3: Espace euclidien / Isométrie / Noyau / Image / Sous espace vectoriel / Dimension / Vecteur / Projeté orthogonal / Limite
Exercice 4: Polynôme / Produit scalaire / Famille libre / Espace vectoriel / Procédé d’orthonormalisation de Schmidt / Base orthonormée / Projection orthogonale /

Extrait :

Exercice 1
On considère la base canonique de R^5 et on écrit tout élément x appartenant à R^5 sous la forme suivante.
1) Vérifier que b est une forme bilinéaire symétrique. Ecrire la forme quadratique associée q.
2) Donner une décomposition de q sous forme canonique, selon la méthode de Gauss, en précisant aussi une base q-orthogonale.
3) Déterminer, en fonction de alpha et beta, le rang et la signature de q. Pour quelles valeurs de alpha et beta, la forme bilinéaire b est-elle non dégénérée ?

Exercice 2
On munit R^4 du produit scalaire usuel. Soit l’endomorphisme de R^4 dont la matrice dans la base canonique est la suivante.
1) Montrer que f est une isométrie.
2) Soit H l’hyperplan de R^4 d’équation x-3y+z-t=0. Montrer que f(H) est un hyperplan de R^4. Trouver une équation de f(H)

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