Examens / Partiels Géométrie Affine et Euclidienne

Examen Géométrie | Antidéplacement – Coplanaire

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Thèmes :

Questions de cours: Déplacement / Antidéplacement / Plan vectoriel / Plan affine / Espace vectoriel / Espace affine / Droite vectorielle / Droite affine
Exercice 1: Plan affine euclidien / Composé de 2 symétries / Translation / Droites / Vecteur
Exercice 2: Espace affine euclidien / Demi tours / Droites parallèles / Translation de vecteur / Rotation / Coplanaire / Vissage / Trièdre trirectangle
Exercice 3: Aire / Triangle / Triangle équilatéral / Droites perpendiculaires

Extrait :

Examen Géométrie | Antidéplacement – Coplanaire

Énumérer les types de déplacements
et d’antidéplacements : du plan Vectoriel \xrightarrow { { E }_{ 2 } } du plan affine E₂
: de l’espace vectoriel \xrightarrow { { E }_{ 3 } } de l’espace affine E₃;

: de la droite Vectorielle \xrightarrow { { E }_{ 3 } } de la droite affine E₁.

1) On considère un plan affine euclidien P.
A) Etant donné 2 droites D, D’
déterminer la nature et les éléments caractéristiques
de la composée des deux symétries { S }_{ D } et { S }_{ { D }^{ ' } }.
B) Etant donné u\in \bar { P } , f ∈ Iso(P), et g=f\o { t }_{ u }\o { f }^{ -1 },
1) montrer que g est une translation ; 2) calculer g(f(M)) ; 3) montrer que g={ t }_{ \bar { f } (u) }

C) Etant donné u\in \bar { P }, v\in \bar { P }, et D une droite de P :
1) Vérifier que { t }_{ v }\o { S }_{ D }\o { t }_{ u }\o { S }_{ D }={ Id }_{ p } si, et seulement si,
{ t }_{ v }\o { S }_{ D }\o { = }{ S }_{ D }\o { t }_{ -u }.
2) Déduire de 1) et B) que: { t }_{ v }\o { S }_{ D }\o { = }{ S }_{ D }\o { t }_{ v } si, et seulement si,
v\in \bar { D }
{ t }_{ v }\o { S }_{ D }\o { = }{ S }_{ D }\o { t }_{ -v } si, et seulement si, v\in \bar { { D }^{ \bot } }
D) Etant donné 3 droites D₁, D₂, D₃, h = { S }_{ { D }_{ 1 } }\o { S }_{ { D }_{ 2 } }\o { S }_{ { D }_{ 3 } } et k =
{ S }_{ { D }_{ 2 } }\o { S }_{ { D }_{ 3 } }\o { S }_{ { D }_{ 1 } }{ S }_{ { D }_{ 2 } }\o { S }_{ { D }_{ 3 } }

1) a) Déduire de C) que, lorsque D₁ // D₂ et D₁ ≠ D₂, D₁ // D₃ si, et seulement si, /12 = { Id }_{ p }
b) Montrer que, lorsque A ∈ D₁ ∩ D₂ et D₁ ≠ D₂, A ∈ D₃ si, et seulement si, h² = { Id }_{ p }
C) Déduire de a) et b) que « D₁, D₂, D₃, parallèles ou concourantes » équivaut a : h² = { Id }_{ p }
2) a) Montrer que k², { S }_{ { D }_{ 1 } }\o k et k\o { S }_{ { D }_{ 1 } } sont des translations.
b) Déduire de a) et C) la direction du vecteur de la translation k².
II) On considere un espace affine euclidien E de dimension 3.
A) Etant donné 2 droites D, D’, et les demi—tours { S }_{ { D } } et { S }_{ { D }^{ ' } }, montrer que :
1) Si D et D’ sont parallèles,
alors { S }_{ { { { D }^{ ' } } } }\o { S }_{ D } est une translation de vecteur ?
2) Si D et D’ sont concourantes, alors { S }_{ { { { D }^{ ' } } } }\o { S }_{ D } est une rotation d’angle ? autour de ?
3) Si D et D’ sont non coplanaires,
alors { S }_{ { { { D }^{ ' } } } }\o { S }_{ D } est un vissage de vecteur ? d’angle ? autour de ?
B) Déduire de A) que, étant donné 3 droites D₁, D₂, D₃, les demi—tours

vérifient { S }_{ { D }_{ 3 } }\o { S }_{ { D }_{ 2 } }\o { S }_{ { D }_{ 1 } }={ Id }_{ E } si, et seulement si, D₁, D₂, D₃, forment un trièdre trirectangle.

Aire(triangle) = (1/2) x L(base) >< L(hauteur). L —5 2) D’un point intérieur a un triangle équilatéral, on trace les trois segments rejoignant les sornmets, et les trois perpendiculaires aux cotés ; comparer la Somme des aires des trois triangles pairs, et la somrne des aires des trois triangles impairs.

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