Examen Calcul Intégral | Continuité - Convergence simple

Thèmes :

Exercice 1: Convergence simple / Suite de fonctions / Convergence uniforme
Exercice 2: Intégrales impropres
Exercice 3: Intégrabilité / Continuité / Classe C1 / Limite / Théorème de convergence dominée / Théorème de convergence monotone

Extrait :

Examen Calcul Intégral | Continuité – Convergence simple

Exercice 1 Etudier la convergence simple et la convergence sur ℝ₊ de la suite
de fonctions $({ f }_{ n })$ déﬁnie par
${ f }_{ n }:x\mapsto { f }_{ n }(x)=\frac { { ne }^{ -x }\left( { x }^{ 3 }+x \right) }{ 1+nx }$

Est-ce que la convergence est uniforme sur ℝ₊ sur un segment [a, b] inclus dans

Exercice 2. Etudier les intégrales impropres suivantes :

(1) $\int _{ 0 }^{ +\infty }{ \frac { \sqrt { x } sin\frac { 1 }{ x } }{ ln(1+x) } }$ dx, (2) $\int _{ 0 }^{ +\infty }{ { t }^{ \alpha }(1-{ e }^{ -1\sqrt { t } } } )$ dt, α ∈ ℝ

Exercice 3. Soit f la fonction déﬁnie sur ℝ₊ X ℝ₊ par
$f(x,t)=\frac { arctan(xt) }{ 1+{ t }^{ 2 } }$

1. Montrer que, pour tout x ∈ ℝ₊, la fonction t $\mapsto$ f(x,t) est intégrable sur ℝ₊
Montrer que la fonction F déﬁnie sur ℝ₊ par
$F(x)=\int _{ 0 }^{ +\infty }{ f(x,t) }$ dt
est continue sur ℝ₊
3. Calculer F(0) et F(1).
4 Montrer que F est de classe C¹ sur ]0,+∞[ et calculer F’(x) pour x ∈ ]0, +∞[.
5 Montrer que, pour tout x ∈ ]O, +∞[,
${ F }^{ ' }(x)=\frac { 1 }{ 2 } \int _{ 0 }^{ +\infty }{ \frac { dx }{ \left( 1+{ x }^{ 2 }u \right) \left( 1+u \right) } }$

En déduire que ${ F }^{ ' }(x)=\frac { lnx }{ { x }^{ 2 }-1 }$
6. Eu déduire la valeur de $\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { lns }{ { s }^{ 2 }-1 } }$ ds
7. Montrer que la limite de F en +∞ est $\frac { { \pi }^{ 2 } }{ 4 }$ . (On pensera à utiliser le théorème convergence dominée).