Calcul Intégral Examens / Partiels

Examen Calcul Intégral | Continuité – Convergence normale

Recevez mes meilleurs conseils pour réussir vos études

privacy Je déteste les spams : je ne donnerai jamais votre email.

Thèmes :

Exercice 1: Suite de fonctions / Convergence uniforme
Exercice 2: Classe C1 / Dérivabilité / Continuité / Intégrale / Inégalité
Exercice 3: Convergence simple / Convergence normale / Convergence uniforme / Somme / Continuité / Comparaison série-intégrale / Limite / Dérivabilité

Extrait :

Examen Calcul Intégral | Continuité – Convergence normale

Devoir Calcul intégral

Exercice 1. Montrer qu‘une suite de fonctions ({ f }_{ n }) converge uniformément sur [a, b] si et seulement la suite de fonctions ({ f }_{ a }) converge uniformément sur ]a,b[ et les suites { (f }_{ n }(a)) et { (f }_{ n }(b))
convergent.

Exercice 2. Soit f : [0, +∞[—>ℝ une fonction de classe C¹ vérifiant f(0) = 0 et, pour tout
x ≥ 0, 0 ≤ f′(x) ≤ b Soit F la fonction définie sur ℝ₊ par

F(x)={ \left( \int _{ 0 }^{ x }{ f(t)dt } \right) }^{ 2 }-\int _{ 0 }^{ x }{ f(t{ ) }^{ 3 } } dt, x ≥ 0

1. Montrer que F est dérivable et que sa dérivée F’ est continue.
2. Monter qu’il existe une fonction dérivable g telle que, pour tout x ≥ 0, F'(x) = f(x)g(x)
3. Calculer g’(x) en fonction de f(x) et f'(x).
4. Montrer que, pour tout x ≥ 0, f(x) ≥ 0 et g(x) ≥ 0.
5. En déduire que { \left( \int _{ 0 }^{ x }{ f(t)dt } \right) }^{ 2 }\ge \int _{ 0 }^{ x }{ f(t{ ) }^{ 3 } } dt
Exercice 3. Soit α un réel strictement positif. Pour tout entier n ∈ ℕ*, on considère l’application un de [0,+∞[ dans ℝ définie par { u }_{ n }(x)=\frac { x }{ { n }^{ \alpha }\left( 1+n{ x }^{ 2 } \right) }

1. (a) Montrer que la série de fonctions \sum _{ n\ge 1 }{ { u }_{ n } } converge simplement sur [0, +∞[.

(b) Montrer que la série de fonctions \sum _{ n\ge 1 }{ { u }_{ n } } converge normalement sur [0, +∞[si et seulement si α > 1/2.

(c) On suppose dans cette question que α ≤ 1/2. Pour tout entier n ≥ 1, on pose { R }_{ n }=\sum _{ k=n+1 }^{ +\infty }{ { u }_{ k } }
i. Montrer que, pour tout x ∈ [0, +∞[et tout n ∈ ℕ*, on a { R }_{ n }(x)\ge \sum _{ k=n+1 }^{ 2n }{ \frac { x }{ \sqrt { 2n } \left( 1+k{ x }^{ 2 } \right) } }
ii. En déduire que la série de fonctions \sum _{ n\ge 1 }{ { u }_{ n } } n’est pas uniformément convergente
sur [0, a] on a et un nombre réel strictement positif.
2. On note S l’application de [0,+∞[ dans ℝ définie par S=\sum _{ n=1 }^{ +\infty }{ { u }_{ n } }
(a) Montrer que, pour tout α > 0, S est continue sur ]0,+∞[.
(b) Montrai que, si α > 1/2, alors S est continue sur [0, +∞[.
(c) On suppose dans cette question que α ≤ 1/2. Soit x un réel strictement positif.
i. En utilisant une comparaison série-intégrale, montrer que, pour tout entier n ≥ 1,
on a \int _{ 1 }^{ n+1 }{ \frac { x }{ { t }^{ \alpha }\left( 1+{ tx }^{ 2 } \right) } } dt\le \sum _{ k=1 }^{ n }{ { u }_{ k } } (x)
« ii. Calculer \int { \frac { x }{ { t }^{ { 1 }/{ 2 } }\left( 1+{ tx }^{ 2 } \right) } }
iii. En déduire que S n’est pas continue en 0.
3. On suppose que α = 1.
(a) Montrer que S est de classe C¹ sur
(b) Déterminer \lim _{ x\rightarrow +\infty }{ S(x) }
(C) Montrer que \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \frac { S(x) }{ x } } =+\infty. (On pourra commencer par donner la limite de
{ T }_{ N }(x)=\frac { 1 }{ x } \sum _{ n=1 }^{ N }{ { u }_{ n }(x) } en 0⁺). La fonction S est-elle dérivable en 0′?

Aperçu :

Téléchargement :

feuille

Recevez mes meilleurs conseils pour réussir vos études

privacy Je déteste les spams : je ne donnerai jamais votre email.

Laisser un commentaire