Examen Calcul Intégral | Classe d'une fonction - Continuité

Thèmes :

Exercice 1: Convergence simple / Série / Continuité / Convergence uniforme / Limite / Classe C1
Exercice 2: Convergence simple / Fonction décroissante / Fonction intégrable / Limite
Exercice 3: Domaine de définition / Continuité / Classe C1 / Limite
Exercice 4: Fonction intégrable

Extrait :

Examen Calcul Intégral | Classe d’une fonction – Continuité

Exercice 1. Pour chaque entier n ∈ ℕ*, on déﬁnit la fonction ℝ par
${ f }_{ n }(x)=arctan\frac { x }{ { n }^{ 2 }{ +x }^{ 2 } }$

1. Montrer que la série de fonctions $\sum _{ n\ge 1 }{ { f }_{ n } }$ converge simplement sur ℝ₊

2. Soit f la somme de la série de fonctions $\sum _{ n\ge 1 }{ { f }_{ n } }$ . Montrer que f est continue sur ℝ₊
3. Montrer que la série de fonctions $\sum { { f }_{ n } }$ ne converge pas uniformément sur ℝ₊

4. Déterminer la Limite de f en 0.

5. Montrer que f et de classe C¹ sur ℝ₊

Exercice 2. Pour chaque entier n ∈ ℕ*, on déﬁnit la fonction ${ f }_{ n }:]0,1]\rightarrow$ par
${ f }_{ n }(x)=\frac { 1 }{ x } \left( 1-{ \left[ 1-\frac { x }{ n } \right] }^{ n } \right)$

1. Etudier la convergence simple de la suite de fonctions $({ f }_{ n })$ .

2. Soit x ∈ ]0,1]. Montrer que la fonction g : [1,+∞[ $\rightarrow$ ℝ, $t\mapsto tln(1-\frac { x }{ 1 } )$ est croissant.En déduire que la suite de fonctions ${ f }_{ n }$ est décroissante.

3. En déduire que, pan: tout entier n ∈ ℕ*, la fonction ${ f }_{ n }$ . est intégrable sur ]0, 1].
4. Déterminer $\lim _{ n\rightarrow +\infty }{ \int _{ 0 }^{ 1 }{ { f }_{ n }(t) } }$ dt.

Exercice 3. On déﬁnit une fonction $F:x\mapsto \int _{ 0 }^{ +\infty }{ \frac { { e }^{ -tx } }{ 1+{ t }^{ 2 } } }$ dt
1. Déterminer le domaines de déﬁnition de F.
2. Montrer que F est continue.
3. Montrer que F et classe C¹ sur ]0,+∞[.
4. Montrer que, pour tout x > 0, on a 0 ≤ F(x) ≤ $\frac { 1 }{ x }$ En déduire $\lim _{ x\rightarrow +\infty }{ F(x) }$

Exercice 4. Soit 3 > 1 et soit f la fonction déﬁnie sur ]0,+∞[ par $f(x)=\frac { { x }^{ n-1 } }{ { e }^{ x }-1 }$
1. Montrer que la fonction f est intégrable sur ]0,+∞[.
2. Ecrire f sous la forme $f=\sum _{ n\ge 1 }{ { f }_{ n } }$ sont des fonctions intégrable sur ]0,+∞[.

3. Montrer que
$\int _{ 0 }^{ +\infty }{ \frac { { e }^{ s-1 } }{ { e }^{ x }-1 } } dx=\Gamma (s)\sum _{ n=1 }^{ +\infty }{ \frac { 1 }{ { n }^{ s } } }$
$\Gamma (s)=\int _{ 0 }^{ +\infty }{ { t }^{ s-1 } } { e }^{ -t }$

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