Calcul Différentiel Examens / Partiels

Examen + Correction Calcul Différentiel | Dérivées partielles – Voisinage

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Thèmes :

Exercice 1: Norme / Inégalité / Application
Exercice 2: Voisinage / Différentiel / Différentiel de Gâteaux
Exercice 3: Continuité / Dérivabilité / Dérivée partielles
Exercice 4: Différentiabilité / Continuité
Exercice 5: Différentiabilité / Dérivé suivant un vecteur

Extrait :

Examen + Correction Calcul Différentiel | Dérivées partielles – Voisinage

N0 On munit ℝ² de la norme Somme: ||(X, y)|| = | x | + | y |, et on considère p: ℝ² ∈ (x,y) \mapsto x ∈ ℝ
1) Verifier que |p (x, y)| ≤ || (x, y) ||. 2) Comparer |p(1,y)| et || (1,y) || / (1 +y), où y ∈ R⁺. 3) Calculer ||p||.
4) Expliciter un (x,y) ∈ ℝ² et un ε > 0 Vérifiant : |p (x, y) | ≤ ε || (x,y) ||, mais || p || || (x, y) || > ε || (x,y) ||.

N1 E et F sont des espaces vectoriels normés, et D un voisinage de a dans E. On considère f : D —> F .

On munit E x E de la norme produit max : || (x,y) || = max( || x ||, || y || ). On dit que:

u est : différentielle stricte de f en a lorsque u\in { L }_{ c }(E,F) et \xrightarrow [ f(y)-f(x)-u(y-x) ]{ ||y-x|| } 0

: différentielle de Gâteaux de f en a lorsque u\in { L }_{ c }(E,F) et ∀ ∈ E : \xrightarrow [ f(a+tv)-f(a) ]{ t } u(v)

I) On considère f₁ :x\mapsto \begin{cases} 0\quad si\quad x\quad =\quad 0 \\ { x }^{ 2 }\quad sin\quad \left( \frac { 1 }{ x } \right) \end{cases} Sinon,
f₂: (x,y)\mapsto \begin{cases} 0\quad si\quad (x,y)\quad =\quad (0,0) \\ \frac { { x }^{ 6 } }{ { x }^{ 8 }+(y-{ x }^{ 2 }) } \end{cases} sinon,
f₃: (x,y)\mapsto \begin{cases} 0\quad si\quad (x,y)\quad =\quad (0,0) \\ \frac { { x }({ x }^{ 2 }-3{ y }^{ 2 }) }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \end{cases}

1) Etudier la dérivabilité de f₁ et la continuité de la fonction dérivée de f₁
2) Calculer f₂(x, x²) puis étudier, seulement en (0, 0), la continuité de f₂ et la différentiabilité de Gâteaux de f₂
3) Etudier, seulement en (0, 0), la dérivabilité de f₃ suivant tout vecteur et la différentiabilité de Gâteaux de f₃.

II) A) On considère u\in { L }_{ c }(E,F) et ε > 0.
I) a) Identifier ? et , dans
b) Simplifier || βx/ 2||x|| || où β >0 et x ∈ E*.
2) Déduire de 1) que, s’il existe β > O tel que || u(h)|| ≤ ε || h || pour tout h ∈ B(O, β), alors || u || ≤ ε.

B) On suppose f differentiable.
1) a) Vérifier que k : D ∋ z \mapsto f(z) —$ { D }_{ a }f(z)$ ∈ F est différentiable, et que, étant donné ε > 0 et η > O,
si || { D }_{ z }k || ≤ ε pour tout z ∈ B(a, η), alors || f(y)-f(x) — { D }_{ a }f (x,y) || ≤ ε || y—x || pour tout (x, y) ∈ B(a, η)²

b) On suppose de plus f strictement différentiable en a, on considère ε > 0, et on pose …

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