Thèmes :
Exercice 1: Série / Convergence / Convergence uniforme / Série de Taylor
Exercice 2: Série entière / Rayon de convergence /
Exercice 3: Fonction périodique / Coefficient de Fourier / Série de Fourier
Extrait :
Examen Suites et Séries de Fonctions | Coefficients de Fourier – Convergence
Exercice 1
On se propose d’étudier la série de fonctions
1. Montrer que
2. Pour quelles valeurs de x la série est-elle convergente?
On note alors S(x) sa somme.
3. La série converge-t-elle uniformément sur tout intervalle [-a, a] où a est un nombre
réel strictement positif ?
4. Démontrer que pour tout entier p>0, on a :
5. Démontrer que pour tout entier p>0, on a :
6. La série converge-t-elle uniformément sur ℝ ?
7. La fonction S est-elle indéfiniment dérivable ?
8. La série de Taylor de S en zéro converge —t-elle sur ℝ tout entier ?
Exercice 2
On considère l’équation différentielle (E) suivante :
xy’’+2y’+xy=0 avec y(0)=1
On suppose que cette équation admet une solution y développable en série entière dans un intervalle [-R, R] où ℝ est un réel strictement positif. On écrit alors
1. Calculer a₀
2. Calculer a₁ puis déterminer une relation entre
3. Déduire de questions précédentes la valeur de an, et le développement de y
+0 _1 k
4. Déterminer le rayon de convergence de la série
5. Exprimer y 51 l’aide de la fonction sinus.
Exercice 3
Suit I‘ la fonction
g(x)=xf(1) pour x ∈ [0,1]
et g(x)=f(x) pour x ∈ [1,
1. Tracer le graphe de la fonction g sur l’intervalle [
2. Calculer les coefficients de Fourier et la série de Fourier de g
3. En déduire la valeur de 2 Sm n .
n=l n
On considere la fonction 211:—périodique impaire g définie par
g(x) = xf(1) pour x E [0, 1]
et g(x)= f(x) pour xe [ l,1t]
4. Tracer le graphe de la fonction g sur l’intervalle [
5. Calculer les coefficients de Fourier et la série de Fourier de g.
6. En déduire la valeur de .
7. Déduire de ce qui précède l’égalité :