Calculs Différentiels Exercices

Exercices Analyse – Dérivées partielles et directionnelles + Correction | Classe C1 – Dérivées directionnelles

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Thèmes :

Partie 1 – ( 5 exercices ): Dérivées partielles / Domaine de définition / Dérivée directionnelle / Classe C1

Extrait :

Exercices Analyse – Dérivées partielles et directionnelles + Correction | Classe C1 – Dérivées directionnelles

Exercice 1
Déterminer, pour chacune des fonctions suivantes, le domaine de définition { D }_{ f } . Pour chacune des fonctions,
calculer ensuite les dérivées partielles en chaque point du domaine de définition lorsqu’elles existent :
1. f (x,y) = { x }^{ 2 }exp(xy),
2. f (x,y) = ln(x+\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } )
3. f (x,y) = { sin }^{ 2 }x+{ cos }^{ 2 }y,
4. f (x,y,z) = { x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }\sqrt { z }

Indication H
Exercice 2
Soit f la fonction sur définie par f (x,y) = xcosy + yexpx.
1. Calculer ses dérivées partielles.
2. Soit v = (cos\theta ,sin\theta ), Calculer f (0,0). Pour quelle(s) valeurs de cette dérivée directionnelle
de f est-elle maximale/minimale ? Que cela signifie-t-il ?
Indication H
Exercice 3
Soit f : ℝ dérivable. Calculer les dérivées partielles de :
g(x,y) = f (x+y); h(x,y) = f({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }); k(x,y) = f (xy)
Indication H
Exercice 4
Soit f : ℝ, définie par
f (x,y) = x si |x|>|y|
f (x,y) = y si |x|<|y| f (x,y) = 0 si |x|=|y|: Étudier la continuité de f , l’existence des dérivées partielles et leur continuité. Indication H Exercice 5 Soit la fonction f : $latex { ℝ }^{ 2 }\longrightarrow$ ℝ définie par f (x,y) = $latex xy\frac { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }$ si $latex (x,y)\neq (0,0)$ f(0,0)=0 Étudier la continuité de f . Montrer que f est de classe { C }^{ 1 }. Indication H Retrouver cette fiche et d’autres exercices de maths sur exo7.emath.fr 1 Indication pour l’exercice 1 N Pour calculer les dérivées partielles par rapport à une variable, interpéter les autres variables comme paramètres et utiliser les règles de calcul de la dérivée ordinaires. Indication pour l’exercice 2 N Interpréter la dérivée directionnelle à l’aide de l’intersection du graphe de la fonction avec un plan convenable. Indication pour l’exercice 3 N Pour calculer les dérivées partielles par rapport à une variable, interpréter les autres variables comme paramètres et utiliser les règles de calcul de la dérivée ordinaires. Indication pour l’exercice 4 N Distinguer tout de suite la partie triviale et la partie non triviale de l’exercice. Indication pour l’exercice 5 N Il est évident que, en tout point (x,y) distinct de l’origine, la fonction f est continue et ...

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