Exercices Analyse – Suites + Correction | Convergence – Fonction croissante

Thèmes :

Partie 1 – ( 7 exercices ): Convergence / Suite bornée / Suite stationnaire / Limite / Théorème des valeurs intermédiaires / Fonction croissante
Partie 2 – ( 7 exercices ): Limite / Suite / Suite récurrente

Extrait :

1 Convergence
Exercice 1
Montrer que toute suite convergente est bornée.
Indication H
Exercice 2
Montrer qu’une suite d’entiers qui converge est stationnaire à partir d’un certain rang.
Indication H
Exercice 3
Montrer que la suite définie par

n’est pas convergente.
Indication H
Exercice 4
Soit une suite de ℝ. Que pensez-vous des propositions suivantes :
Si converge vers un réel ` alors et convergent vers `.
Si et sont convergentes, il en est de même de (un)n.
Si et sont convergentes, de même limite `, il en est de même de .
Indication H
Exercice 5
Soit q un entier au moins égal à 2. Pour tout n ∈ N, on pose
1. montrer que pour tout n ∈ N.
2. Calculer et . En déduire que la suite n’a pas de limite.
Indication H
Exercice 6
Soit
1. En utilisant une intégrale, montrer que pour tout n > 0 :

2. En déduire que .
3. Déterminer la limite de .
4. Montrer que est décroissante et positive.
5. Conclusion ?
1
Indication H
Exercice 7
On considère la fonction f : définie par

et on définit la suite en posant et pour n ∈ ℕ.
1. Montrer que l’équation possède une solution unique ∈ ]0,1/2[.
2. Montrer que l’équation f(x) = x est équivalente à l’équation et en déduire que a est
l’unique solution de l’équation f(x) = x dans l’intervalle [0,1/2]:
3. Montrer que et que la fonction f est croissante sur En déduire que la suite est
croissante.
4. Montrer que et en déduire que pour tout
5. Montrer que la suite converge vers

Aperçu :