Exercices Algèbre + Correction – Polynômes | Bezout – Division euclidienne

Thèmes :

16 exercices : Division euclidienne / Puissances croissantes / Relation de Bezout / Puissances décroissantes / PGCD / Ordre de multiplicité / Racine multiple / Facteurs d’irréductibles / Factorisation

Extrait :

Exercice 1. Effectuer les divisions euclidiennes de
par ,
par ,
par
Exercice 2. Effectuer la division selon les puissances croissantes de :
par `a l’ordre 2.
Exercice 3. Trouver les polynˆomes P tels que P+1 soit divisible par
et P − 1 par
1. en utilisant la relation de B´ezout,
2. en consid´erant le polynˆome d´eriv´e .
Combien y a-t-il de solutions de degr´e 7 ?
Exercice 4. Effectuer la division de par
1. Suivant les puissances d´ecroissantes.
2. `A l’ordre 4 (c’est-`a-dire tel que le reste soit divisible par ) suivant
les puissances croissantes.
Exercice 5. Effectuer la division euclidienne de
par
Exercice 6. Quels sont les polynˆomes P ∈ C[X] tels que divise P ?
Exercice 7. Calculer pgcd(P,Q) lorsque :
1. et ,
2. et
Exercice 8. D´eterminer le pgcd des polynˆomes suivants :
et ,
,
et

Exercice 9. Calculer le pgcd D des polynˆomes A et B d´efinis ci-dessous.
Trouver des polynˆomes U et V tels que D = AU + BV .
1. et
2. et
Exercice 10. D´ecomposer dans ℝ[X], sans d´eterminer ses racines, le polyn
ˆome , en produit de facteurs irr´eductibles.
Exercice 11. Pour n ∈ , quel est l’ordre de multiplicit´e de 2 comme racine
du polynˆome

Exercice 12. Pour quelles valeurs de a le polynˆome
admet-il une racine multiple r´eelle ?
Exercice 13. Dans ℝ[X] et dans ℂ[X], d´ecomposer les polynˆomes suivants
en facteurs irr´eductibles.
1.
2.
Exercice 14. Factoriser dans ℝ[X] :
1.
2. .
Exercice 15. Trouver un polynˆome P de degr´e 2 tel que
P(1) = −2 et …

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