Examen Algèbre Bilinéaire | Espace euclidien – Méthode de Gauss

Thèmes :

Exercice 1: Base canonique / Forme bilinéaire symétrique / Forme canonique / Méthode de Gauss / Rang / Signature / Forme bilinéaire non dégénérée
Exercice 2: Produit scalaire / Endomorphisme / Matrice / Base canonique / Isométrie / Hyperplan /
Exercice 3: Espace euclidien / Isométrie / Noyau / Image / Sous espace vectoriel / Dimension / Vecteur / Projeté orthogonal / Limite
Exercice 4: Polynôme / Produit scalaire / Famille libre / Espace vectoriel / Procédé d’orthonormalisation de Schmidt / Base orthonormée / Projection orthogonale /

Extrait :

Exercice 1.

On considère la base canonique {e₁, e₂, e₃, e₄, e₅} de ℝ⁵ et on écrit tout
élément x ∈ ℝ⁵ sous la forme Soit l’application b: ℝ⁵×ℝ⁵ ℝ
définie par :

où α,β sont deux paramètres réels.

1. Vérifier que b est une vforme bilinéaire symétrique. Ecrire la forme qua-
dratique associée q.

2. Donner une décomposition de q sous forme canonique, selon la méthode
de Gauss, en précisant aussi une base q-orthogonale.

3. Déterminer, en fonction de α,β, le rang et la signature de q. Pour

quelles valeurs de α,β la forme bilinéaire b est-elle non dégénérée ?

Exercice 2.
On munit ℝ⁴ du produit scalaire usuel. Soit l’endomorphisme de ℝ⁴ dont
la matrice dans la base canonique est :

1. Montrer que f est une isométrie.

2. Soit H l’hyperplan de ℝ⁴ d’équation x — 3y + z — t = 0. Montrer que
f(H) est un hyperplan de ℝ⁴. Trouver une équation de f(H)

Exercice 3.
Soient E un espace euclidien et l‘ une isométrie de E. On pose g = f –
et pour tout entier n ≥ 1,
1. Montrer que le noyau et l’image de g sont des sous-espaces vectoriels
de E.
2. Montrer que pour tout sous-espace vectoriel A de E, on a = A
3. Montrer que Kerg ⊂
4. A l’aide des dimensions, montrer que Kerg =
5. Soit x un vecteur de E. On note y le projeté orthogonal de x sur Kerg.
(a) Montrer que x — y ∈ Img.
(b) Montrer que pour tout entier n ≥ 1,
(c) Montrer qu’il existe un vecteur u ∈ E tel que, pour tout entier
n ≥ 1, on ait :

(d) Montrer que = 0
(e) En déduire que l’on a: = y

Exercice 4.

Soit E l‘espace vectoriel des polynômes réels de degré inférieur ou égal à
trois. Pour tout n ∈ {0,1, 2,3}, on pose . Pour (P, Q) e E², on pose :

dt

1. Montrer que f est un produit scalaire sur E…

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