Partiel Groupes | Bijection – Cardinal

Thèmes :

Exercice 1 : Produit cartésien / Groupe / Loi associative / Element neutre / Sous groupe normal
Exercice 2 : Groupe diédral / Corps complexe / Racine / Groupe des permutations / Bijection / Ordre / Isomorphisme
Problème : Groupe d’ordre p² / Groupe abélien / Groupe cyclique / Isomorphisme / Indice d’un sous groupe / Centre / Sous groupe normal / Premier / Théorème de Lagrange / Classe de conjugaison / Conjugués / Relation d’équivalence / Système complet de représentant des classes / Stabilisateur / Cardinal

Extrait :

Examen partiel du 30 octobre
On note G le produit cartésien ℤ × ℚ, on le munit de: la loi de composition z

(l) Montrer que G= ℤ × ℚ est un groupe
(a) Vérifier que la loi est associative en donnant explicitement la valeur
du produit
(b) Écrire explicitement d’élément neutre.
Écrire explicitement l’inverse de
(2) On H = {0} x ℤ = {(0,α) | a ∈ ℤ}. Verifier que H est un sous-groupe de G.
(3) Soit x = (k,0). Montrer que,pour tout x,les parties xH={xh|h∈H} et Hx={hx|h∈H}
sont comparables pour l’inclusion (discuter suivant les valeurs de k)
(4) peut-on conclure que H est un sous groupe normal de G?

EXERCICE II DIEDRAL

Où considère le corps ℂ des complexes. On pose.On note p la multiplication par ξ dans ℂ et σ la conjugaison complexe :
p:ℂ->ℂ,p(z)=ξz, σ:ℂ->ℂ,
On note le sous-groupe du groupe des permutation de ℂ (bijectionde ℂ sur lui même ) enggendre par p et σ (plus petit sous-groupe contenant p et σ).On dit que c’est le groupe dièdral le dégré n.On note hg le produit de duex bijection h et g,soit la composition hog
(l) Déterminer l’ordre de p et de σ
(2) Montrer l’égalité
(3) Montrer que est formé d’éléments de la forme.En deduire l’ordre du groupe .
(4) On considere le cas n = 3.Montrer que les éléments permmutent les trois points.Conclure que est isomorphe au groupe symétrique.
PROBLEME: GROUPE D’ORDRE
Le but de ce probléme est de montrer qu’un groupe d’ordre ,avec p premier est abélien.
A.Préliminaire
(1) Montrer qu’un groupe d’ordre p ,avec p premier,est cyclique donc abélien
(2) Décrire les deux groupes d’ordre 4 (isomorphisme près)
B.Indice du centre .Soit G un groupe.On rappelle que le centre Z(G) de G est la partie
(3) Verifier que Z(G) est un sous-groupe normal de G
(4) Soient G est un groupe de H est un sous-groupe normal de G.On note [G:H]
l’indice de H.On suppose que [G:H]=p , avec p prtemier .Montrer qu’il existe α ∈ G que tout élément de G s’écrive

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