Partiel Calcul Différentiel | Continuité - Dérivabilité

Examen Analyse – 2005 – N°1 – Niveau L1

Thèmes :

Exercice 1 : Fonction linéaire continue
Exercice 2 : Espace vectoriel normé / Fonction continue / Support / Normes usuelles
Exercice 3 : Limites / Continuité / Dérivabilité / Différentiabilité / Dérivée suivant un vecteur

Extrait :

Partiel Calcul Différentiel | Continuité – Dérivabilité

I) On considére f : E —> F linéaire continue.
1) Comparer, pour tout x ? E, f et ${ D }_{ x }f$
2) Répondre par oui par non chacune des questions suivantes :
L’application ${ D }^{ ' }f=Df:x\mapsto { D }_{ x }f$ est-elle constante ? ‘
A-t-on, par définition, ${ D }_{ x }^{ n+1 }f={ D }_{ x }({ D }^{ x }f)$ ?, ${ D }^{ n+1 }f=D({ D }^{ n }f)$
3) Déterminer, pour tout n ? N*,les espaces de départ et d’arrivée et la valeur de ${ D }^{ n }$
II) 1) On considère k ∈ ℝ⁺, E et F des esp. vect. normés, et f : E —> F linéaire. Montrer que :
a) Si ||f(x)|| = k ||x|| pour tout x ∈ E, et il existe a ∈ E* tel que ||f(a)|| = k||a||
alors f est continue et ||f|| = k.
b) S’il’existe ${ u }_{ m }$ ℕ —> {x ∈ E/ ||x|| ≤ 1 } tel1e que +∞ = sup{ ||f(Um)||}
alors f n’est pas continue.
c) S’il existe (Um): ℕ —> {x ∈ E/ || x || = 1} telle que +∞ = sup{ ||f(Um)|| }
alors f n’est pas continue.
2) On considère l’espace vectoriel S des suites U = (un) ℕ —> ℝ à support
Supp(U) = {n ∈ ℕ /un ≠ 0} fini, et $f:S\quad \ni \quad U\mapsto \underset { x\epsilon supp(U) }{ \sum { { u }_{ n } } } \epsilon$ ℝ, et on définit, sur S,
les normes $U\mapsto ||U{ || }_{ \sum }=\underset { x\epsilon supp(U) }{ \sum { |{ u }_{ n } } |}$ , et $U\mapsto ||U{ || }_{ \infty }=\underset { x\epsilon supp(U) }{ max } |{ u }_{ n }|$
a) Etudier la continuité de l’application linéaire f, pour chacune de ces 2 normes.
b) Déterminer, le cas échéant, la norme de f
3) Déterminer, pour chacune des trois normes usuelles || ||∑,|| ||√, et || ||∞ sur ℝ²
la norme de ℝ² ∋ (x, y) $\mapsto$ ax + by linéaire continue en fonction de (a, b) ∈ ℝ².
III) 1 a) Vérifier que |2xy| ≤x² + y².
b) Calculer $\underset { x\rightarrow 0 }{ lim } y(x)$ où $y(x)={ e }^{ { -1 }/{ { x }^{ 2 } } }$
2) On considère les applications f et g de ℝ² vers ℝ définies par $f:(x,y)\mapsto \begin{cases} 0\quad si(x,y)=(0,0) \\ \frac { xy }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } } sin(\frac { 1 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } } )sinon \end{cases}$ $g:(x,y)\mapsto \begin{cases} 0\quad si\quad x=0 \\ \frac { y{ e }^{ { -1 }/{ { x }^{ 2 } } } }{ { y }^{ 2 }+{ e }^{ { -2 }/{ { x }^{ 2 } } } } sinon \end{cases}$
Etudier en (0, O), et seulement en (0, 0) :
a) La continuité de f, 1’existence de sa dérivée suivant (1,1), et sa différentiabilité.
b) La continuité de g, et l’existence de sa dérivée suivant chaque vecteur v ≠ O.