Partiel Analyse Hilbertienne et de Fourier | Espace de Hilbert – Espace préhilbertien

Thèmes :

Exercice 1: Espace préhilbertien / Sous espace vectoriel / Somme directe
Exercice 2: Espace de Hilbert / Convexe / Théorème de projection sur une partie convexe complète / Identité du parallélogramme / Suite convergente

Extrait :

EXERCICE 1

Soit f une fonction numérique de classe dans $latex{ ℝ }^{ 2 }$. On considère l’application ( de
Vers donnée par

1. Ecrire la matrice jacobienne de l’application au point (at, y) de R2.
2. Déterminer toutes les fonctions f telles que la matrice soit, en tout point (x, y) de la forme
pour tout (x,y) de
ou et sont des coefficients réels (dépendant de x et y)
3. On choisit une fonction f satisfaisant aux exigences de la question 2. Déterminer
l’ensemble des points (a,y) pour lesquels la différentielle de est une rotation vectorielle.

EXERCICE 2
Soient a un nombre réel et l’application qui a tout point de associe

1. Montrer que Qa est une forme quadratique sur et donner sa forme polaire.
2. Déterminer, selon la valeur du paramétre a, le rang et la signature de
3. Trouver une base de orthogonale pour
PROBLEME

Soient f une fonction continue sur [0, 1] et un réel, avec . On suppose qu’il existe
une constante telle que l’on ait
(C) pour tout t de [0,1].
On pose alors, pour x ∈ [0, +∞[,

1. Montrer que l’intégrale ci—dessus existe pour tout x de [0, +∞[.
2.Montrer que la fonction F est Continue sur [0,+∞[.
3.(a) Montrer que la fonction F est dérivable sur ]0, +∞[ et, pour m dans cet intervalle,
exprimer F’ sous forme d’une intégrale.
(b) Pour x > 0, calculer explicitement F(x) lorsque et en déduire la Valeur

4.(a) Montrer que si on suppose , alors F est aussi dérivable a droite en 0 et exprimer F’(0) sous forme d’une intégrale.
(b) On considère l’exemple f(t) = t. Que vaut F(0) ? Calculer ensuite F(x) explicitement pour x > 0. En déduire que dans le cas , il peut arriver que la fonction F ne soit pas dérivable a droite en 0.
5. Dans toute Cette question on suppose
(a) Montrer qu’on a alors, pour tout réel y > 0,

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