Thèmes :
Exercice 1: Ordre d’un élément / Ordre infini
Exercice 2: Matrice / Groupe / Opération / Homomorphisme / Image / Noyau
Exercice 3: Permutation / Décomposition en cycles disjoints / Ordre / Conjugué / Signature / Décomposition en produit de 3-cycles
Exercice 4: Groupe multiplicatif / Sous groupe / G/H / Ensemble des classes à gauche / Opération / Morphisme de groupe / Noyau / Morphisme
Exercice 5: Groupe des quaternions / Matrice carrée / Corps des nombres complexes / Groupe multiplicatif / Sous groupe de H8 / Sous groupe normaux de H8 /
Extrait :
Examen Groupes | Classe à gauche – Conjugué
1.(a) Définir l’ordre d’un élément d’un groupe G
(b) Montrer que si G est un groupe fini et g ∈ G,alors ord(g) est un diviseur de |G|
(c) Montrer que si g ∈ G et
(d) Donner un exemple d’un groupe qui contient des éléments d’ordre fini et des éléments d’ordre infinies
2. Soit G l’ensemble des matrices 3×3 de la forme
pour x,y,z ∈ ℝ
(a) Montrer que G est un groupe sous l’opération de mutiplications des matrices
(b) soit H le groupe de muni de l’opération de
soit
3. Combien y-a-t’il de permutation d’ordre 4 dans
On considère les deux permutation dans
1. Donner les décomposition en cycles disjoints de
2. Calculer l’ordre de
3. Calculer la signature de
4. Combien y-a-t’il d’élément de
5.Décomposer
4 Soit G un groupe multiplicatif, H un sous-groupe de G, on note G/H l’ensemble des
classes a gauche xH de G modulo H.
Montrer qu’on définit une opération de G sur G/H par l’application
G x G/H —> G/H
(g.xH)—->gxH
Quel est le morphisme de groupes σ associé a cette operation ?
Montrer que le noyau de ce morphisme est :
Montrer que si p est le plus petit nombre premier divisant l’ordre de G et si H est
d’indice p alors H est normal dans G. ( On pourra étudier Ie groupe G/ker∅)
5 Le groupe des quaternions
On rappelle que
dans ie corps des nombres complexes C de …