Examen Analyse Hilbertienne et de Fourier | Coefficients de Fourier – Convergence normale

Thèmes :

Exercice 1: Fonction périodique / Fonction continue par morceaux / Coefficients de Fourier / Convergence simple / Convergence normale
Exercice 2: Fonction périodique / Fonction continue par morceaux / Produit de convolution / Norme / Sous espace vectoriel

Extrait :

On désigne par l’espace vectoriel des fonctions continues sur ℝ, -périodiques à valeurs complexes.
Pour tout couple (f, g) de on définit une fonction f o g de en posant, pour x ∈ ℝ,

On rappelle que f*g = g*f.Pour chaque entier p ∈ ℤ, soit la fonction définie sur ℝ par (x) =

Exercice 1. Soit la fonction définie par
1. Donner l’allure de la représentation graphique de
2. Vérifier que la fonction est 2 -périodique, continue par morceaux et pairs;
3. Calculer les coefficients de Fourier trigonométriques de .
4. Etudier la convergence (simple et normale) de la série de Fourier de
5. Pour chaque entier n ∈ ℕ, on pose Pour x ∈ ℝ, exprimer en fonction des

6. Pour x ∈ ℝ, exprimer en fonction des coefficients trigonométriques de

7. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ, on a
Exercice 2. Pour tout réel p ∈ [0, 1[ et tout réel t, on pose
1′. Suit p ∈ [0,1{.
(a) Montrer que la fonction est continue, paire et -périodique.
(b) Montrer que la. fonction est positive et que
(c) Soit h une fonction de ℝ dans ℂ continue et -périodique. Montrer que, pour tout réel xins, on a

(d) Montrer que l’endomorphisme T de , défini par est continu de norme 1.
2. Soit F l’ensemble des fonctions h de ℝ dans ℂ continues et —périodiques telles que

(a.) Montrer que F est un sous-espace vectoriel de
(b) Montrer que, pour tout p ∈ ℤ et tout p ∈ [0, l[, on a
(c) En déduire que F est dense dans ( ||.||∞).
(d) En déduire que, pour toute fonction h de ℝ dans ℂ continues et -périodiques, on a

3. Montrer que si h est une fonction de ℝ dans ℂ continue et -périodique telle que, pour tout entier
n ∈ ℤ, . alors la suite converge.

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