Examen Séries-Intégrations | Convergence – Endomorphisme

Thèmes :

Exercice 1: Polynôme / Endomorphisme / Valeurs propres / Sous espaces propres / Matrice diagonalisable
Exercice 2: Intégrale généralisée / Convergence
Exercice 3: Intégrale généralisée / Rayon de convergence / Série entière / Majoration / Convergence

Extrait :

EXERCICE

Soient E l’espace des polynômes réels de degré inférieur ou égal à 2 et m un nombre réel.
Pour tout P de E on pose désigne évidemment le
polynôme dérivé de P.

1. Montrer que est un endomorphisme de E et déterminer ses Valeurs propres.
2. Montrer sans calculer les sous—espaces propres que pour m ≠ 0 l’endomorphisme
est diagonalisable.
3. Montrer que u₀ n’est pas diagonalisable.
PROBLEME
Le problème comporte deux parties largement indépendantes.
Dans tout ce qui suit f est une fonction continue sur ℝ₊ et on suppose qu’il existe une
constante a > 0 telle que l’on ait |f(t)| ≤ at pour tout t ∈ ℝ₊.

Premiere partie

1. Montrer que l’intégrale généralisée dt est convergente.
2. Montrer que pour tout entier n ≥ 1 l’intégrale généralisée dt est
convergente.
3. Montrer que pour tout reel t > 0 on a

4. Montrer que pour tout entier p ≥ 1 l’intégrale généralisée
convergente et que l’on a
5. Montrer que pour tout entier p ≥ 1 on a

6. En déduire que la série de terme général converge et que l’on a
Deuxiéme partie

7. Montrer que l’intégrale généralisée dt introduite à la question 2 Vérifie ## |{ u }_{ n }|\le \frac { a }{ { n }^{ 2 } }$ pour tout n ≥ 1
8. En dédulre que le rayon de convergence de la série entière est infini.
Dans la suite on note φ(t) la Somme de cette série entière.
9. Pour tout entier n ≥ 1 et tout réel x ≥ 0 on pose dt. Etablir en la justifiant soigneusement l’égalité

10. On rappelle que pour tout entier n ≥ 1 on a . En déduire la
ℝ₊
11. A l’aide de ce qui précède justifier la convergence de dt et l’égalité

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