Examen Algèbre / Analyse | Convergence – Endomorphisme

Thèmes :

Exercice 1: Polynôme / Polynôme dérivé / Endomorphisme / Valeurs propres / Sous espaces propres / Endomorphisme diagonalisable
Problème: Intégrale généralisée / Convergence / Série convergente / Rayon de convergence / Série entière /Majoration

Extrait :

Soient E l’espace des polynômes réels de degré inférieur ou égal a 2 et m un nombre réel.
Pour tout P de E, on pose , où P’ désigne évidemment le
polynôme dérivé de P.
1. Montrer que est un endomorphisme de E et déterminer ses valeurs propres.
2. Montrer, sans calculer les sous—espaces propres, que pour m ≠ 0, Pendomorphisme
est diagonalisable.
3. Montrer que uo n’est pas diagonalisable.

PROBLÈME
Le problème comporte deux parties largement indépendantes.

Dans tout ce qui suit, f est une fonction continue sur et on suppose qu’il existe une
constante a > 0 telle que l’on ait pour tout

Première partie

1. Montrer que l’intégrale généralisée dt est convergente.

2. Montrer que pour tout entier l’intégrale généralisée dt est convergente.
3. Montrer que pour tout réel t > O on a

4. Montrer que pour tout entier , l’intégrale généralisée
convergente et que l’on a
5. Montrer que pour tout entier , on a
6. En déduire que la série de terme général converge et que l’on a
Deuxième partie
7. Montrer que l’intégrale généralisée introduite a la question 2
Vérifie pour tout
8. En deduire que le rayon de convergence de la serie entiere est infini.
Dans la suite, on note la somme de cette série entière.
9. Pour tout entier et tout réel , on pose dt. Etablir, en la justifiant soigneusement, l’égalité

10. On rappelle que pour tout entier , on a . En déduire la
majoration pour tout et tout
11. A l’aide de ce qui précède, justifier la convergence de

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