Exercices – Algèbre + Correction – Injection / Surjection / Bijection – Niveau L1

Thèmes :

7 exercices: Injection, surjection, bijection

Extrait :

Exercices de mathématiques
Injection, surjection, bijection

Exercice 1.
Soient f : ℝ ℝ et g : ℝ ℝ telles que f(x) = 3x + 1 et g(x) = – 1. A-t-on f o g = g o f

Injection, surjection, bijection
Exercice 1. Soient f : R ! R et g : R ! R telles que f(x) = 3x + 1 et
g(x) = x2 − 1. A-t-on f o g = g o f ?
Exercice 2. Soit f : R ! R d´efinie par f(x) = 2x/(1 + x2).
1. f est-elle injective ? surjective ?
2. Montrer que f(R) = [−1, 1].
3. Montrer que la restriction g : [−1, 1] ! [−1, 1] g(x) = f(x) est une
bijection.
4. Retrouver ce r´esultat en ´etudiant les variations de f.
Exercice 3. On consid`ere quatre ensembles A,B,C et D et des applications
f : A ! B, g : B ! C, h : C ! D. Montrer que :
g o f injective ) f injective,
g o f surjective ) g surjective.
Montrer que :
(g o f et h o g sont bijectives) (f, g et h sont bijectives).

Exercice 4 (Exponentielle complexe). Si z = x + iy, (x, y) 2 R2, on pose
ez = ex × eiy.
1. D´eterminer le module et l’argument de ez.
2. Calculer ez+z0 , ez, e−z, (ez)n pour n 2 Z.
3. L’application exp : C ! C, z 7! ez, est-elle injective ?, surjective ?
Exercice 5. Soit f : [0, 1] ! [0, 1] telle que
f(x) =
(
x si x 2 [0, 1] \ Q,
1 − x sinon.
D´emontrer que f f = id.
Exercice 6. Soit f : R ! C t 7! eit. Montrer que f est une bijection sur
des ensembles `a pr´eciser.
Exercice 7. Soit f : [1,+1[! [0,+1[ telle que f(x) = x2 − 1. f est-elle
bijective ?
Indications 1.
Prouver que l’´egalit´e est fausse.
Indications 2.
f n’est ni injective, ni surjective.2. Pour y ∈ ℝ
, r´esoudre l’´equation
f(x) = y
.3. On pourra exhiber l’inverse.
Indications 3.
Pour la premi`ere assertion le d´ebut du raisonnement est :“supposons que g ◦ f est injective, soit
`avous de travailler, cela se termine par “…donc
, doncf est injective.

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