Exercices Algèbre – Applications linéaires + Correction | Base – Bijection

Thèmes :

Partie 1 – ( 2 exercices ): Applications Linéaires / Espace vectoriel
Partie 2 – ( 6 exercices ): Image / Noyau / Sous espace vectoriel / Théorème du rang / Endomorphisme / Application linéaire
Partie 3 – ( 4 exercices ): Injectivité / Surjectivité / Isomorphisme / Vecteur / Application linéaire / Bijective / Polynôme / Division euclidienne / Isomorphisme
Partie 4 – ( 2 exercices ): Espace vectoriel / Projecteur / Base / Image / Noyau

Extrait :

Applications linéaires

Exercice 1. Déterminer si les applications suivantes (de Ei dans Fi ) sont linéaires.
Exercice 2. Soit E un espace vectoriel de dimension n et une application linéaire de E dans lui-même telle que. Soit x appartenant à E tel que. Montrer que la famille est une base de E.

Image et noyau

Exercice 3. E1 et E2 étant deux sous-espaces vectoriels de dimensions finies d’un espace vectoriel E, on défnit l’application f : E1 × E2 ? E par f(x1,x2 )=x1 + x2 .
1. Montrer que f est linéaire.
2. Déterminer le noyau et l’image de f.
3. Appliquer le théorème du rang.

Exercice 4. Soient E un espace vectoriel et f une application linéaire de E dans E. On suppose que Ker (f)n Im (f) = {0}. Montrer que, si x appartient à Ker (f) alors, pour tout n de N.

Exercice 5. Soient E un espace vectoriel de dimension n et f une application linéaire de E dans lui-même. Montrer que les deux assertions qui suivent sont équivalentes.
1. Ker(f) = im(f).
Exercice 6. Soient f et g deux endomorphismes de E tels que f o g = g o f . Montrer que ker(f ) et Im(f) sont stables par g.
Exercice 7. Soit f de L(E). Montrer que.
Exercice 8. Donner des exemples d’applications linéaires de R2 dans R2 e véri?ant:
1. Ker(f) = Im(f ).
2. Ker(f) inclus strictement dans Im(f).
3. Im(f) inclus strictement dans Ker(f).

Injectivité, surjectivité, isomorphie

Exercice 9. Soit E un espace vectoriel de dimension 3, {e1 , e2 , e3 } une base de E, et un paramètre réel. f(e1 ) = e1 + e2 , f(e2 ) = e1 – e2 définit une application, montrer que la donnée de f(e3 ) = e1 + e3 est linéaire de E dans E. Ecrire le transformé du vecteur x = a1 e1 +a2 e2 +a3 e3. Comment choisir t pour que f soit injective et surjective ?

Exercice 10.
1. Dire si les applications fi, pour i allant de 1 à 6, sont linéaires.

2. Pour les applications linéaires trouvées ci-dessus, déterminer ker(fi) et Im (fi), en déduire si fi est injective, surjective, bijective.

Exercice 11. Soient E = Cn [X] et A et B deux polynômes à coefficients complexes de degré (n + 1). On considère l’application f qui à tout polynôme P de E, associe le reste de la division euclidienne de AP par B.

1. Montrer que f est un endomorphisme de E.
2. Montrer l’équivalence f est bijective si et seulement si A et B sont premiers entre eux.

Exercice 12. Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie et f une application linéaire de E dans F.
Montrer que f est un isomorphisme si et seulement si l’image par f de toute base de E est une base de F .