Partiel Calcul Différentiel | Norme – Boule

Thèmes :

Questions de cours : Norme / Dérivée / Dérivée suivant un vecteur / Dérivées partielles / Différentielle / Continuité d’une application linéaire / Norme d’une application linéaire continue
Exercice 1 : Espace vectoriel normé / Boule / Fonction
Exercice 2 : Limites / Continuité / Dérivabilité / Différentiabilité / Dérivée suivant un vecteur
Exercice 3 : Espace vectoriel normé / Normes usuelles / Continuité

Extrait :

I) On considére un espace vectoriel normé E,(a,b) E et (r, s) ∈ et on pose
1) On suppose et on pose
a) Vérifier que : i) c est injective ;
ii) si et seulement si
iii) si et seulement si
2) Déduire de 1) que, si B(a, r) = B(b, s), alors a = b et r = 5.

II) 1) a)Vérifier que pour tout
b) Calculer

2) On considère les application f et g de vers ℝ définies par :
sinon,
Etudier en (0, 0), et seulement en (0, 0), :
a) la continuité de 1″, Pexistence de sa dérivée suivant 1e vecteur (1, 1), et sa différentiabilité ;
b) la continuité de g, l’existence de sa dérivée suivant chaque vecteur v t 0, et sa différentiabilité.

III) A) On considére E et F des espaces vectoriels normés, et f : linéaire. Montrer que :
si pour tout x ∈ E, et il existe tel que a alors f est continue

B) On munit de l’une des trois normes usuelles : somme euclidienne , maximum

1)Vérifier que,pour tout
2) Déduire de A) la continuité de l’application linéaire addition :
et la valeur de sa nonne pour chacune des trois normes sur E.

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