Analyse Hilbertienne et de Fourier Examens / Partiels

Examen Analyse Hilbertienne et de Fourier | Coefficients de Fourier – Convergence normale

Thèmes :

Exercice 1: Fonction périodique / Fonction continue par morceaux / Coefficients de Fourier / Convergence simple / Convergence normale
Exercice 2: Fonction périodique / Fonction continue par morceaux / Produit de convolution / Norme / Sous espace vectoriel

Extrait :

Examen Analyse Hilbertienne et de Fourier | Coefficients de Fourier – Convergence normale

On désigne par { C }_{ 2\pi } l’espace vectoriel des fonctions continues sur ℝ, 2\pi-périodiques à valeurs complexes.
Pour tout couple (f, g) de { C }_{ 2\pi } on définit une fonction f o g de { C }_{ 2\pi } en posant, pour x ∈ ℝ,
f*g(x)=\int _{ -\pi }^{ \pi }{ f(x-t) } g(t)dt
On rappelle que f*g = g*f.Pour chaque entier p ∈ ℤ, soit { e }_{ p } la fonction définie sur ℝ par { e }_{ p }(x) = { e }^{ ipx }

Exercice 1. Soit la fonction définie par \gamma (t)=|sin\frac { 1 }{ 2 } |
1. Donner l’allure de la représentation graphique de \gamma
2. Vérifier que la fonction \gamma est 2 \pi -périodique, continue par morceaux et pairs;
3. Calculer les coefficients de Fourier trigonométriques de \gamma.
4. Etudier la convergence (simple et normale) de la série de Fourier de \gamma
5. Pour chaque entier n ∈ ℕ, on pose { s }_{ n }=\sum _{ p-n }^{ n }{ { e }_{ p } } Pour x ∈ ℝ, exprimer { s }_{ n } en fonction des
coskx,1\le k\le n
6. Pour x ∈ ℝ, exprimer \gamma *{ s }_{ n }(x) en fonction des coefficients trigonométriques de \gamma

7. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ, on a ||\gamma -\gamma *{ s }_{ n }|{ | }_{ \infty }=|\gamma (0)-(\gamma *{ s }_{ n })(0)|=\frac { 2 }{ \pi } \frac { 1 }{ 2n+1 }
Exercice 2. Pour tout réel p ∈ [0, 1[ et tout réel t, on pose { P }_{ p }(t)=1+\sum _{ n+1 }^{ +\infty }{ ({ p }^{ n } } { e }^{ ins }+{ p }^{ n }{ e }^{ ins })
1′. Suit p ∈ [0,1{.
(a) Montrer que la fonction { P }_{ p } est continue, paire et 2\pi-périodique.
(b) Montrer que la. fonction { P }_{ p } est positive et que ||{ P }_{ p }|{ | }_{ \gimel }=1
(c) Soit h une fonction de ℝ dans ℂ continue et 2\pi-périodique. Montrer que, pour tout réel xins, on a
h*{ P }_{ p }(x)=\infty (h)+\sum _{ n=1 }^{ +\infty }{ ({ p }^{ n } } { c }_{ n }(h){ e }^{ ins }+{ p }^{ n }{ c }_{ -n }(h){ e }^{ -ins })
(d) Montrer que l’endomorphisme T de { C }_{ 2\pi }, défini par h\rightarrow h*{ P }_{ p } est continu de norme 1.
2. Soit F l’ensemble des fonctions h de ℝ dans ℂ continues et 2\pi—périodiques telles que
\underset { p\rightarrow 1- }{ lim } ||h*{ P }_{ P }-H|{ | }_{ \infty }=0
(a.) Montrer que F est un sous-espace vectoriel de { C }_{ 2\pi }
(b) Montrer que, pour tout p ∈ ℤ et tout p ∈ [0, l[, on a { e }_{ p }*{ P }_{ p }={ p }^{ |p{ | }_{ { e }_{ p } } }
(c) En déduire que F est dense dans ({ C }_{ 2\pi } ||.||∞).
(d) En déduire que, pour toute fonction h de ℝ dans ℂ continues et 2\pi -périodiques, on a
\underset { p\rightarrow 1- }{ lim } ||h*{ P }_{ P }-H|{ | }_{ \infty }=0
3. Montrer que si h est une fonction de ℝ dans ℂ continue et 2\pi -périodique telle que, pour tout entier
n ∈ ℤ, { c }_{ n }(h)\ge 0. alors la suite converge.

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