Examen Analyse Complexe | Fonction holo - Intégrale

Thèmes :

Exercice 1: Rayon de convergence
Exercice 2: Série de Laurent
Exercice 3: Singularités / Résidus
Exercice 4: Intégrale
Exercice 5: Série de Taylor
Exercice 6: Cercle / Théorème de Rouché / Racine
Exercice 7: Fonction holomorphe

Extrait :

Examen Analyse Complexe | Fonction holo – Intégrale

Toute question demande en réponse non seulement un résultat mais surtout une démonstration. Le
barême n’est donné qu’à titre indicatif.
1. Déterminer les (3 pts) rayons de convergence
(a) $\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ (-1{ ) }^{ n } } { e }^{ { -n }^{ 2 } }{ z }^{ 7n }$
(b) et de
$\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ ({ 9 }^{ 3n } } +{ 4 }^{ 5n }){ z }^{ 2n }$ Pour cela on commencera par se demander qui de 93 ou de
45 est le plus grand ! (et on les mettra sous la forme de carrés).
2. Soit $f(z)=\frac { 1 }{ z } +\frac { 1 }{ z+1 } +\frac { 1 }{ z+2 }$
(4 pts) . Déterminer les développements de f en série de Laurent :
(a) pour 0 < |z| < 1, (b) pour 1 < |z| < 2, (c) et pour |z| > 2.
Soit C le cercle de centre $\frac { -3 }{ 2 }$
et de rayon 1. Que vaut ?
3. Déterminer les singularités et les résidus dans C de $f(z)=\frac { 1 }{ ({ z }^{ 2 }-2z+2)({ z }^{ 2 }+1) }$
(4 pts) . Puis
trouver la valeur de $\int _{ -\infty }^{ \infty }{ \frac { dx }{ ({ x }^{ 2 }-2x+2)({ x }^{ 2 }+1) } }$
4. Que vaut $\int _{ -\infty }^{ \infty }{ \frac { { e }^{ i\pi x } }{ { x }^{ 2 }-2x+2 } }$ dx ? (attention, dans l’exercice précédent il y avait ## { x }^{ 2 }-2x+2$,
ici cela a changé, c’est ${ x }^{ 2 }-2x+2$ ).
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5. Soit
$\sum _{ k=0 }^{ \infty }{ { C }_{ k }{ h }^{ k } }$ la série de Taylor de
$\frac { 1 }{ (2i+h{ ) }^{ 5 } }$ en zéro. Trouver ce (3 pts) que valent ${ c }_{ 0 },{ c }_{ 1 },{ c }_{ 2 },{ c }_{ 3 }\quad et\quad { c }_{ 4 }$ Puis, déterminer la valeur de $A=\int _{ -\infty }^{ \infty }{ \frac { dx }{ (1+{ x }^{ 2 }{ ) }^{ 5 } } }$
6. Soit $P(z)={ z }^{ 5 }+{ z }^{ 4 }+\frac { 1 }{ 14 }$
(3 pts) .
points négatifs si
non-réponse ou
réponse fausse! 1. établir
2. Soit C le cercle de centre zéro et de rayon $\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } }$
. Montrer $|{ z }^{ 4 }+\frac { 1 }{ 14 } |\ge \frac { 10 }{ 56 } >|{ z }^{ 5 }|$ pour
z ∈ C. En déduire en invoquant le théorème de Rouché (et en examinant P′) que P
a exactement quatre racines distinctes vérifiant $latex |z|<\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } }$ (et aucune sur C). 3. Soit Z l’unique racine de P avec . En invoquant à nouveau le théorème de Rouché d’une manière appropriée établir $latex |Z|>1+\frac { 1 }{ 14 }$
. On aura montré $(1+\frac { 1 }{ 14 } { ) }^{ 5 }>(1+\frac { 1 }{ 14 } { ) }^{ 4 }+\frac { 1 }{ 14 }$
(3 pts) 7. Soit $H=\{ z|Im(z)>0\}$ et $\overline { H } =\{ z|Im(z)\ge 0\}$ . Soit f une fonction continue sur $\overline { H }$ ,
qui est de plus holomorphe sur $\overline { H }$ . On suppose $|f|\le 1000$ sur $\overline { H }$ et $|f|\le 1$ sur ℝ.
Montrer : $|f|\le 1$ sur $\overline { H }$
Indication : considérer les fonctions $g(z)=\frac { f(z) }{ \epsilon z+i }$
pour $\epsilon$ > 0.
Université Lille 1 Examen du 16 janvier 2007
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