Examen Probabilités + Correction | Espace probabilisé - Fonction génératrice

Thèmes :

Exercice 1: Dés non pipés / Probabilités / Intégrale / Limite
Exercice 2: Variables aléatoires / Loi du couple / Variables indépendantes
Exercice 3: Fonction génératrice / Lois / Variance / Indépendance / Loi de Poisson
Exercice 4: Indépendance / Issues / Union infini

Extrait :

Examen Probabilités + Correction | Espace probabilisé – Fonction génératrice

EXERCICE l. : On lance trois dês supposés non pipês.

1) Quelle est la probabilité d’obtenir trois fois le même nombre ?
‘ 2) Quelle est la probabilité d’obtenir exactement deux fois le même nombre ?

3) Quelle est la probabilité pour que la somme des trois dës soit supérieure

ou égale ä I5 ?
On lance les trois dës n fois de suite. Soit Nn le nombre de fois oü

l’on obtient trois fois le même nombre.
‘ N

4) Quelle est la limite, lorsque n tend vers + œ , de Ê? ?

5) Soit a > O . Exprimer ä l’aide d’une intégrale la limite lorsque n tend

vers l’infini de $P(|{ N }_{ n }-\frac { n }{ 36 } |\le a\sqrt { n } )$ .

EXERCICE 2.
Soient x et Y deux variables aléatoires entières $\ge n$ .

on pose ${ P }_{ n }=P[y=n]$ pour tout entier n $\ge n$ et on suppose que
$P[X=k/Y=n]\begin{cases} =\quad \frac { 1 }{ n+1 } \quad si\quad 0\le k\le n \\ =\quad \quad \quad 0\quad \quad \quad si\quad \ge n+1\quad \quad \quad \quad \quad \quad (k,n\in N) \end{cases}$
a.) Trouver la loi du couple (X,Y) et montrer que $P[X\le Y]=1$

b) Établir que lorsque ${ p }_{ n }(1-a{ ) }^{ 2 }(n+1){ a }^{ n }\quad (n\in N)$ pour un réel a € ]0.1[ .

les deux variables X et Y – X sont indépendantes et trouver alors les lois de

chacune de ces deux variables.

EXERCICE 3.

Soit X et Y deux variables aléatoires entières. On définit la fonction

génératrice du couple (X,Y) par :

$A(s,t)=E({ s }^{ X }{ t }^{ Y }),|s|\le 1,|t|\le 1$

l) Exprimer 1a fonction génératrice ${ g }_{ x }$ de X et la fonction génératrice
${ g }_{ y }$ de Y , à partir de la fonction A . Exprimer de même la fonction génératrice de alpha X + beta Y
2) Par exemple, on suppose que la fonction génératrice du couple (X,Y)
est donnée par :
$A(s,t)={ e }^{ -a-b-c+as+cst }$
oü a>0 , b>0 , c>0 sont fixés .
Trouver .1es lois de X et Y . Calculer E(X) , E(Y) , var X, var Y .

Quelle est 1a fonction génératrice de X+Y ? En déduire var(X+Y) puis

cov(X,Y) .
Discuter suivant les valeurs de C , l’indépendance de X et Y .

g On suppose maintenant que X et Y sont indépendantes.

1) Exprimer la fonction génératrice A du couple (X,Y) en fonction
de gx et gY .
2) En déduire la fonction génératrice de la variable alé…

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