Exercices Analyse - Fonctions et topologie élémentaire de Rn + Correction | Adhérence - Boule ouverte

Thèmes :

Partie 1 – ( 5 exercices ): Graphe / Lignes de niveaux / Courbe paramétrée / Surfaces de niveaux / Partie ouverte / Partie fermée / Intérieure / Adhérence / Boule ouverte / Réunion / Intersection

Extrait :

Exercices Analyse – Fonctions et topologie élémentaire de Rn + Correction | Adhérence – Boule ouverte

Enoncés : Stephan de Bièvre
Corrections : Johannes Huebschmann
Fonctions et topologie élémentaire de ℝ $^{ n }$ et B $_{ 2 }\subset$ ℝ $^{ m }$

Exercice 1
1. Tracer le graphe de la fonction f : ℝ $^{ 2 }\rightarrow$ ℝ déﬁnie par f (x,y) = ${ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }$ ; et tracer les lignes de niveau de cette fonction.
2. Tracer les graphes des fonctions f et g déﬁnies par f (x,y) = 25 − $({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 })$ et g(x,y) = 5 − $\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }}$
3. Tracer le graphe de la courbe paramétrée f: ℝ $\rightarrow$ ℝ $^{ 2 }$ f(x)= $(x\cos { x,x\sin { x }})$
4. Peut-on représenter graphiquement l’application de la question (3.)? Comment?
5. Décrire les surfaces de niveau de la fonction f: ℝ $^{ 3 }\rightarrow$ ℝ déﬁnie par f(x,y,z) = exp $(x+{ y }^{ 2 }-{ z }^{ 2 })$
6. Pourquoi ne peut-t-on pas naïvement représenter le graphe de l’application f: ℝ $^{ 2 }\rightarrow$ ℝ $^{ 2 }$ ,f(x,y)=(-y,x) sur une feuille de papier. Comment peut-on graphiquement représenter cette application?
Exercice 2
Déterminer si chacune des parties suivantes du plan sont ouvertes ou fermées, ou ni l’un ni l’autre. Déterminerchaque fois l’intérieur et l’adhérence.
1. ${ A }_{ 1 }=\{ (x,y)\in$ ℝ $^{ 2 }|{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }>1\}$
2. ${ A }_{ 2 }=\{ (x,y)\in$ ℝ $^{ 2 }|{ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=1,y>0\}$
Exercice 3
1. Soient $B$ latex _{ 1 }\subset$ ℝ $^{ n }$ des boules ouvertes. Montrer que B $_{ 1 }\times$ B $_{ 2 }\subset$ ℝ $^{ n+m }$ est un ouvert.
2. Soit A un ouvert de ℝ $^{ 2 }$ et B un ouvert de ℝ. Montrer que A×B est un ouvert de ℝ $^{ 3 }$
Exercice 4
1. Soit $({ A }_{ n })$ $(n\in$ ℕ $)$ une suite de parties ouvertes de ℝ $^{ 2 }$ Est-ce que la réunion des ${ A }_{ n }$ est encore une partie ouverte? Et leur intersection?
2. Même question pour une famille de parties fermées.
Exercice 5
Soit A = $\{ (t,\sin { \frac { 1 }{ t } } )\in$ ℝ $^{ 2 };t>0\}$ . Montrer que A n’est ni ouvert ni fermé. Déterminer l’adhérence $\overset { - }{ A }$ de A Retrouver cette ﬁche et d’autres exercices de maths sur exo7.emath.fr

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