Partiel Algèbre Linéaire | Déterminant - Divisibilité

Thèmes :

Exercice 1: Modulo / Divisibilité / Puissance
Exercice 2: Matrice / Déterminant / Puissance d’une matrice / Polynôme / Racines

Extrait :

Partiel Algèbre Linéaire | Déterminant – Divisibilité

I) 1)Expliciter une relation : entre 4[13] et 9[13] ;
: entre $({ 2 }^{ 4k })[13]$ et $({ 3 }^{ 4k })[13]$
:entre $({ 2 }^{ 4k+2 })[13$ et # $({ 3 }^{ 4k+2 })[13]$

Parmi les quatre nombres : ${ 2 }^{ 70 }+{ 3 }^{ 70 }+{ 2 }^{ 71 }+{ 3 }^{ 71 },{ 2 }^{ 72 }+{ 3 }^{ 72 },{ 2 }^{ 73 }+{ 3 }^{ 73 }$ , lesquels sont divisibles par 13 ?

Pour quelles valeurs de n ∈ ℕ, ${ 2 }^{ n }+{ 3 }^{ n }$ est-il divisible par 13?
I)Calculer les déterminants $\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{matrix} \right| \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & i & i \\ 1 & 1 & -i & -i \\ 1 & -1 & i & i \end{matrix} \right| ,{ \left| i+j-1 \right| }_{ 1\le i\le n\\ 1\le j\le n },{ \left| (i+j-1{ ) }^{ 2 } \right| }_{ 1\le i\le n\\ 1\le j\le n }$
Calculer, pour tout n ∈ ℤ
On considère a ∈ ℂ*, (b, c) ∈ ℂ2,r et s les racines,dans ℂ,du trinôme aX²+bX+c,et $V=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ { -c }/{ a } & { -b }/{ a } \end{pmatrix}$