Exercices Algèbre + Correction | Dualité – Espace Vectoriel

Thèmes :

6 Exercices: Famille / Base / Préduale / Duale / Forme linéaire / Espace vectoriel / Famille liée

Extrait :

Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile
I : Incontournable
Dans les corrigés qui suivent, on ne suppose pas connue la notion d’orthogonalité au sens de la dualité.
Exercice 1 **I
1. Soient n ∈ et E = . Pour a ⋳ ℂ, on définit l’application (P)=(Pa). Montrer
que pour tout .
2. Soient a0, a1,. . . , an n+1 nombres complexes deux à deux distincts. Montrer que la famille
est une base de et déterminer sa préduale.
3. Montrer qu’il existe tel que 8P 2 Cn[X];
puis
donner la valeur des li sous la forme d’une intégrale.

Exercice 2 **
Sur E = R3[X], on pose pour tout P 2 E, j1(P) = P(0) et j2(P) = P(1) puis y1(P) = P0(0) et y2(P) = P0(1).
Montrer que (j1;j2;y1;y2) est une base de et trouver la base dont elle est la duale.

Exercice 3 **
Soit E un K-espace vectoriel et j et y deux formes linéaires sur E. On suppose que pour tout x de E, on a
j(x)y(x) = 0. Montrer que j = 0 ou y = 0.

Exercice 4 ***
1. Soient puis et j n+1 formes linéaires sur un κ-espace vectoriel E de dimension finie.
Montrer que :

2. Signification du résultat précédent : dans R3, équation d’un plan P contenant D :

x+y+z = 0
2x+3z = 0
et le
vecteur u = (1,1,1) ?

Exercice 5 ***
Soient n puis n formes linéaires sur un K-espace E de dimension n.
Montrer que la famille est liée si et seulement si il existe un vecteur x non nul tel que 8i 2
[[1;n]] ; = 0.

Exercice 6 **
Rang du système de formes linéaires sur R4
1
f1 = x1+ + + 2
f2 = x1+ + +
f3 = x1+ +(m+4)
f4 = – 3 – m
?

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2
Correction de l’exercice 1 N
1. Soit a 2 C. Soient (l;m) 2 C2 et (P;Q) 2 E2.

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