Examen Algèbre / Analyse | Convergence – Fonction bornée

Thèmes

:

Exercice 1: Matrice diagonalisable
Exercice 2: Logarithme népérien / Fonction bornée / Suite de fonction / Convergence / Intégrale convergente / Série
Exercice 3: Série entière / Rayon de convergence / Fonction bornée / Fonction constante

Extrait :

EXERCICE 1

Soient a, b et c des nombres réels. On considère la matrice

1. Pour quels nombres a, b et c la matrice A est—elle diagonalisable?
2. On prend a = b = 0 et C = 1. Calculer pour tout entier naturel n.

EXERCICE 2

On note Log la fonction logarithme népérien.

1. Montrer que la fonction f définie sur ]0,1[ par est bornée sur ]0, 1[.

2. On considère la suite de fonctions définie sur ]0, 1[ par Etudier
la convergence de la suite
3. Justifier que pour tout entier naturel n, l’intégrale
dx
est convergente et montrer, à l’aide de la question 1, qu’il existe un réel M > 0 tel que l’on ait

4. Calculer explicitement, en fonction de l’entier naturel k la valeur de
Log x dx
Que peut-on dire de la série de terme général ?
5. Établir la convergence de l’intégrale

et exprimer I — en fonction des
6. Montrer que

EXERCICE 3

Soit une série entière de rayon de convergence infini. Pour tout z de ℂ, on pose

1. Montrer, en le justifiant soigneusement, que pour tout entier naturel n et tout réel R>0,on a
dt

2. On suppose a partir de maintenant qu’il existe des constantes ℂ > 0 et a ≥ 0 telles que l’on ait
pour tout z ∈ ℂ.

On fixe un entier n ∈ ℕ*. Montrer qu’on a

pour tout R > 0.
3. En déduire que l’on a

4. On suppose que f est bornée dans ℂ. Montrer qu’alors f est constante.

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