Partiel Analyse | Accroissement fini – Espace vectoriel

Thèmes :

Question de cours: Voisinage / Composée de fonctions / Dérivabilité
Exercice 1: Développement Limité / Asymptotes
Exercice 2: Espace vectoriel / Fonction injective / Noyau / Image
Exercice 3: Etude de fonction / Suites / Accroissements finis

Extrait :

Partiel Analyse | Accroissement fini – Espace vectoriel

Exercice 1 : 5 points
1. Donner le développement limité à l’ordre 2 en 0 de la fonction
En déduire le développement limité à l’ordre 3 en 0 de la fonction arctan .
2. Puis montrer que le développement limité à l’ordre 3 en 0 de la
fonction est
En déduire une équation de la tangente à la courbe de au point d’abscisse 0, puis
la position de la courbe par rapport à cette tangente g
3. Donner le développement limité à l’ordre 3 en +∞ de la fonction (on
rappelle que ∀x > 0,arctanx + arctan
En déduire une équation de l’asymptote à la courbe de g en +∞ , et la position de
la courbe par rapport à cette asymptote.
Exercice 2 : 6 points
On définit et .
1. Montrer que P est un sous espace vectoriel de et donner une base de P
2. Montrer que .
3. On considère
a. Montrer que f est une application linéaire.
b. Déterminer une base de Ker(f) . f est-elle injective ?
c. Justifier que Im( f ) = P .
d. BONUS : f est-il le projecteur de sur P parallèlement à D?
Exercice 3 : 10 points
On considère la fonction g définie sur ℝ par . Pour chaque entier naturel
n ≥ 2 , on considère l’équation notée , d’inconnue le réel x
a. Dresser le tableau des variations de la fonction en précisant les limites
aux bornes du domaine de définition.
g
b. Montrer que l’équation admet exactement deux solutions, l’une
strictement négative notée et l’autre strictement positive notée
.
2. Dans cette question, on note la suite définie par
a. On rappelle que est le réel strictement négatif obtenu à la question
1.b. lorsque n = 2. Calculer g (−1) et g (−2) puis montrer que

b. Justifier que 2
. En déduire par récurrence sur l’entier que
pour tout entier naturel

c. En utilisant l’inégalité des accroissement finis appliquée à la fonction g ,
montrer que pour tous réels
d. Montrer que pour …

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Erwin BORD:
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