Exercices Analyse – Dérivabilité + Correction | Classe d’une fonction – Extremum local

Thèmes :

Partie 1 – ( 4 exercices ): Fonction dérivable / Fonction prolongeable par continuité / Fonction continue / Minimum
Partie 2 – ( 4 exercices ): Théorème de Rolle / Théorème des accroissements finis / Polynôme
Partie 3 – ( 4 exercices ): Extremums / Extremum local / Théorème de Rolle / Fonction dérivable / Relation de récurrence / Classe d’une fonction

Extrait :

1 Calculs
Exercice 1
Déterminer a,b ∈ ℝ de manière à ce que la fonction f définie sur ℝ par :
f(x)= si 0 x 1 et f(x)= si x > 1
soit dérivable sur ℝ
Exercice 2
Soit f:ℝ ℝ définie par f(x)= Montrer que f
est prolongeable par continuité en 0; on note encore f la fonction prolongée. Montrer que f est dérivable sur ℝ mais que f n’est pas continue en 0.
Exercice 3
Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes :
, si 0 ; =0
, si 0 ; =0
, si 0; =0
Exercice 4
Soit n ≥ 2 un entier fixé et f:ℝ = [0,+∞[→ℝ la fonction définie par la formule suivante :
f(x)= , 0
1. (a) Montrer que f est dérivable sur ℝ et calculer f(x) pour x ≥ 0.
(b) En étudiant le signe de f (x) sur ℝ , montrer que f atteint un minimum sur ℝ que l’on déterminera.
2. (a) En déduire l’inégalité suivante :
, ∀x ∈ ℝ .
(b) Montrer que si x ∈ ℝ et y ∈ ℝ alors on a

2 Théorème de Rolle et accroissements finis
Exercice 5
Montrer que le polynôme
+aX+b, (a et b réels) admet au plus trois racines réelles.
Exercice 6
Montrer que le polynôme défini par

est un polynôme de degré n dont les racines sont réelles, simples, et appartiennent à [-1,1]
Exercice 7
Dans l’application du théorème des accroissements finis à la fonction
f(x)=
sur l’intervalle[a,b] préciser le nombre “c” de]a,b[. Donner une interprétation géométrique
Exercice 8
Soient x et y réels avec 0 Aperçu :