Analyse Exercices

Exercices Analyse – Calculs d’intégrales + Correction | Aire – Application croissante

Thèmes :

Partie 1 – ( 7 exercices ): Intégrale / Fonction continue / Fonction dérivable / Fonction intégrable / Intervalle fermé borné / Somme de Riemann – Darboux / Intégrable au sens de Riemann / Continuité en un point / Fonction continue positive / Sup / Limites / Application croissante
Partie 2 – ( 3 exercices ): Primitives
Partie 3 – ( 3 exercices ): Fonction positive / Fonction périodique / Fonction paire / Fonction impaire / Fonction dérivable / Ensemble de définition / Limite
Partie 4 – ( 4 exercices ): Intégrales / Intégrales de Wallis / Équivalence / Majoration
Partie 5 – ( 1 exercice ): Calculs d’aires / Courbe
Partie 6 – ( 1 exercice ): Limites de suites / Intégrales / Limites

Extrait :

Exercices Analyse – Calculs d’intégrales + Correction | Aire – Application croissante

Calculs d’intégrales
1 Utilisation de la définition
Exercice 1
Soit f la fonction définie sur [0,3] par f\left( x \right) =\begin{cases} -1 \\ 1 \\ 3 \end{cases}\\
1. Calculer \int _{ 0 }^{ 3 }{ f\left( t \right)  } dt
3. Montrer que F est une fonction continue sur [0,3]. La fonction F est-elle dérivable sur [3,0]?
Exercice 2
Montrer que les fonctions définies sur ℝ f\left( x \right) =x,g(x)\quad =\quad { x }^{ 2 } et h\left( x \right) ={ e }^{ x },
sont intégrables surtout intervalle fermé bornéde ℝ.En utilisant les sommes de Riemann,calculer les intégrales
\int _{ 0 }^{ 1 }{ f\left( x \right) dx,\int _{ 1 }^{ 2 }{ g\left( x \right)dx }} et h\left( x \right) ={ e }^{ x }
Exercice 3
Calculer l’intégrale de \int { [a,b] } →ℝ comme limite de sommes de Riemann-Darboux dans les cas suivants :
1. f\left( x \right) =\sin { x } et f\left( x \right) =\cos { x } sur \left[ 0,\frac { \pi  }{ 2 }\right] et { x }_{ k=\frac { K\pi  }{ { 2 }_{ n } }} k=0,1,....,n.
2.g\left( x \right) =\frac { 1 }{ x } sur [a,b] et { x }_{ k }=a{ q }^{ k },k=0,1,...,n
3.h\left( x \right) ={ \alpha  }^{ x }\quad sur\quad [a,b] et\quad { x }_{ k }=\alpha +(b-a),\frac { k }{ n } ,k=0,1,...,n
Exercice 4
1.f\left( x \right) =[x]\quad sur\quad [0,2]
Les fonctions suivantes sont-elles intégrables au sens de Riemann?
2.g:[0,1] \rightarrow ℝ g(x)= \begin{cases} [\frac { 1 }{ x } ] \\ 1 \end{cases} \quad \begin{matrix} si \\ si \end{matrix}
3.h:[0,1] \rightarrowh\left( x \right)=\begin{cases} \frac { 1 }{ x } \sin { (\frac { 1 }{ x } ) }  \\ 1 \end{cases}
4.k:[0,1] \rightarrow{ k }_{ 1 }(x)=\begin{cases} 1 \\ 0 \end{cases}\begin{matrix} si\quad x\quad \in  \\ si\quad x\quad \in  \end{matrix}
Exercice 5
Soit f:[a,b] \rightarrow ℚ une fonction intégrable sur [a,b] (a0$
Montrer que \int _{ a }^{ b }{ f\left( x \right)} dx>0. En déduire que si f est une fonction continue positive sur [a,b] telle que \int _{ a }^{ b }{ f\left( x \right)} dx=0 alors f est identiquement nulle.
2. On suppose que f est continue sur [a,b], et que \int _{ a }^{ b }{ f\left( x \right)  } dx\quad =\quad 0. Montrer qu’il existe c\in [a,b] tel que f(c) = 0.
3. Application : on suppose que f est une fonction continue sur [0,1],telle que \int _{ 0 }^{ 1 }{ f(t) } dt\quad =\quad \frac { 1 }{ 2 }. Montrer qu’il existe d ∈ [0,1] tel que f(d) = d.
Exercice 6
Soit f: [a,b] \rightarrow ℝ continue, positive; on pose m=sup\{ f(x),x\in [a,b]\}. Montrer que

Exercice 7
Soit: f:[0,1] \rightarrow ℝ une application strictement croissante telle que f(0) = 0, f(1) = 1.Calculer:

2 Calculs de primitives
Exercice 8
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
a) \int { arctan.xdx } b) \int { { tan }^{ 2 } } xdx

Aperçu :

 

Téléchargement :

feuille
Ce document provient du site exo7. Le projet Exo7 propose aux étudiants
des fiches d’exercices de mathématiques avec indications et corrections de
niveau L1-L2-L3. Ces fiches sont élaborées, corrigées et validées par des
enseignants du supérieur.

Recevez mes meilleurs conseils pour réussir vos études

J'accepte de recevoir des informations par email

privacy Je déteste les spams : je ne donnerai jamais votre email.

Laisser un commentaire