Examen Analyse | Borne inférieur - Borne supérieure

Thèmes :

Exercice 1: Convergence / Limite
Exercice 2: Convergence / Limite
Exercice 3: Suite géométrique / Convergence
Exercice 4: Convergence / Limite / Nombres complexes
Exercice 5: Suite / Limite
Exercice 6: Fonction à deux variables / Limite
Exercice 7: Adhérence / Suite de Cauchy / Convergence
Exercice 8: Borne sup / Borne inf / Maximum
Exercice 9: Norme
Exercice 10: Suite de Cauchy / Convergence / Suite

Extrait :

Examen Analyse | Borne inférieur – Borne supérieure

Analyse mathématique I
Examen (17 janvier 2001)
Nom :
Prénom :
Section :
Veuillez commencer par écrire en lettres majuscules votre NOM, PRÉNOM et SECTION sur
toutes les feuilles.
Les explications sont aussi (voire plus) importantes que les résultats. Soignez donc la manière
dont vous vous exprimez ; ne pensez pas que les correcteurs peuvent « boucher les
trous » parce qu’ils connaissent le cours. Les explications concises et pertinentes sont les
plus appréciées ! Le manque d’explication ou le « bla bla » sont honnis1 !
Ne confondez pas la rédaction de vos réponses avec celle de vos brouillons !
La grandeur des espaces laissés après les questions vous donne une indication sur la longueur
des réponses attendue.
N’employez pas le dos de la feuille de la question précédente pour finir votre réponse !
Question 1. La suite
converge-t-elle ? Si oui, vers quelle limite ? Justifiez.
1honnir v. tr. Couvrir publiquement de honte. Je ne laisserai personne me honnir. — Vieilli ou litt. Être honni de,
par qqn, lui inspirer de la haine et du mépris. k Honni soit qui mal y pense ! : honte à celui qui y voit du mal.
Dictionnaire Universel Francophone c
1997 HACHETTE/EDICEF. (www.francophonie.hachette-livre.fr)
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Analyse mathématique I
Examen (17 janvier 2001)
Nom :
Prénom :
Section :
Question 2. Soit
Définissez « ${ x }_{ n }$ converge vers ${ x }_{ * }$ lorsque $n\longrightarrow \infty$ ».
Montrez à partir de cette définition que
$\frac { 1-n }{ 1+n } \xrightarrow { n\longrightarrow \infty } -1$
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Analyse mathématique I
Examen (17 janvier 2001)
Nom :
Prénom :
Section :
Question 3. Soit la suite définie par ${ b }_{ 0 }$ ∈ℝ et ${ b }_{ n+1 }=\frac { 1 }{ 2 } ({ b }_{ n }+3),n\ge 0$ .
Montrez que la suite ${ c }_{ n }:={ b }_{ n }-3$ est une suite géométrique.
La suite (bn) converge-t-elle et, le cas échéant, vers quelle limite ? Justifiez vos affirmations.

Analyse mathématique I
Examen (17 janvier 2001)
Nom :
Prénom :
Section :
Question 4. Soit la suite définie par
${ z }_{ n }=\frac { { 7 }^{ n+1 }i+14.{ 3 }^{ n } }{ { 7 }^{ n }(1+i\sqrt { 2 } ) }$
La suite ${ z }_{ n }$ converge-t-elle ? Si oui, déterminez sa limite.
Question 5. Soit la suite définie par ${ v }_{ n }=(\frac { { 5 }^{ n } }{ n! } ,\frac { { n }^{ 8 } }{ { 3 }^{ n } } ,\sqrt [ n ]{ 27 } )$
. Calculez $\lim _{ n\longrightarrow \infty }{ { v }_{ n } }$
Analyse mathématique I
Examen (17 janvier 2001)
Nom :
Prénom :
Section :
Question 6. Soit f : . Calculez la limite de f (x,y) pour
$(x,y)\longrightarrow (0,0)$