Forum - Licence de Mathématiques

[kvf300]

Bonjour

Pourquoi montrer que " Les orbites d'une action forment une partition de X " revient à montrer que " La relation xRy <=> il existe g € G, y=g.x est une relation d'équivalence associé à l'action " ?

Merci

[FDP]

L'orbite Ox d'un élément x de X est l'ensemble des g.x lorsque g parcourt G.

Les orbites de X sous l'action de G sont par définition les classes d'équivalence de la relation T xTy<=> y est dans l'orbite de x.

Il reste à démontrer:
y est dans l'orbite de x <=> il existe g tel que y=g.x

Mais cette équivalence résulte de la définition de l'orbite d'un point.

Pourquoi R est-elle une relation d'équivalence?
x,y,z de X:
xRx est vraie car x=e.x (e élément neutre de G)
si xRy est vraie alors il existe g tel que y=g.x et donc x=g^(-1).y ce qui signifie que yRx est vraie.
si xRy et yRz sont vraies alors il existe g,g' tels que y=g.x et z=g'.y donc z=g'.(g.x)=(g'g).x donc zRx est vraie.
R est donc réflexive,symétrique,transitive c'est donc une relation d'équivalence.

Description plus précise de la partition de X par les classes d'équivalence de R:

Si x et y sont deux points de X alors ou bien Ox et Oy sont égaux ou bien Ox et Oy sont disjointes.

Si Ox et Oy ont un point commun z alors il existe g et g' de G tels que z=g.x et z=g'.y donc g.x=g'.y ainsi:

On a:
g^(-1).(g.x)=g^(-1).(g'.y) d'où e.x=[g^(-1).g'].y d'où x=[g^(-1).g'].y d'où 0x est inclus dans Oy.

On a aussi:
y=[g'^(-1).g].x donc Ox est inclus dans Oy
Finalement Ox=Oy

Ainsi les classes d'équivalence de R qui partitionnent X sont des orbites de points.

[kvf300]

Bonjour

Je ne comprend pas la conclusion à la fin de ceci: g^(-1).(g.x)=g^(-1).(g'.y) d'où e.x=[g^(-1).g'].y d'où x=[g^(-1).g'].y d'où 0x est inclus dans Oy.

En fait ce que je comprend pas c'est le fait de ne pas prendre un élément dans Ox et montrer qu'il est dans Oy et conclure malgré tout que Ox est inclus dans Oy.

Merci de m'aider.

PS: Lorsque tu écris: " On a aussi: y=[g'^(-1).g].x donc Ox est inclus dans Oy " J'imagine que tu veux dire " On a aussi: " y=[g'^(-1).g].x donc Oy est inclus dans Ox " . Question de logique mais tout comme l'autre je ne comprend pas pourquoi.

[FDP]

On a:
g^(-1).(g.x)=g^(-1).(g'.y) d'où e.x=[g^(-1).g'].y d'où x=[g^(-1).g'].y d'où 0x est inclus dans Oy.

On a aussi:
y=[g'^(-1).g].x donc Ox est inclus dans Oy
Finalement Ox=Oy

Je me suis trompé.

Il fallait lire: Oy est inclus dans Oy

Si E et F sont deux sous-ensembles de X, E=F si et seulement si E est inclus dans F et si F est inclus dans E.

[kvf300]

Je vois bien que tu utilises A inclus dans B et B inclus dans A implique A=B mais ce que je ne comprend pas c'est pourquoi conclure que Ox est inclus dans Oy alors que nous n'avons pas pris un élément de Ox et montré qu'il appartenait à Oy, si ?

[FDP]

mais ce que je ne comprend pas c'est pourquoi conclure que Ox est inclus dans Oy alors que nous n'avons pas pris un élément de Ox et montré qu'il appartenait à Oy, si ?

En reprenant ce que j'ai écrit:

Si Ox et Oy ont un point commun z alors il existe g et g' de G tels que z=g.x et z=g'.y donc g.x=g'.y ainsi:

On a:
g^(-1).(g.x)=g^(-1).(g'.y) d'où e.x=[g^(-1).g'].y d'où x=[g^(-1).g'].y d'où 0x est inclus dans Oy.

Si x=r.y pour r dans G alors cela signifie bien que x est dans Oy. Si x est dans Oy tout élément de Ox est dans Oy, autrement dit: Ox est inclus dans Oy

(Si u est dans Ox alors il existe t de G tel que u=t.x or x=r.y donc u=t.(r.y)=(tr).y donc u est bien dans Oy)

De même:

On a aussi:
y=[g'^(-1).g].x

Ce qui signifie que y est dans Ox et de la même façon que précédemment cela implique que Oy est inclus dans Ox.

[kvf300]

Merci pour l'explication, je suis un peu long à la détente mais je viens de comprendre. En meme temps pour le coup je ne vois pas comment on pourrais ne pas comprendre avec cette dernière explication super détaillée.

Merci encore

[FDP]

En meme temps pour le coup je ne vois pas comment on pourrais ne pas comprendre avec cette dernière explication super détaillée.

Inutile de se flageller pour si peu
Si les mathématiques enseignés en licence de maths étaient si simples tout le monde aurait ce titre universitaire.
Il faut en avoir parcouru du chemin en mathématiques pour que les choses révèlent leur sens à l'apprenti mathématicien.