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[kvf300]

Bonjour

Peut on admettre le jour d'un examen que les orbites de x sont en bijection avec G/StabG(x) ?

Merci

[FDP]

Les orbites de x?

Il existe un isomorphisme de G-ensembles entre L'orbite Ox de x et G/stab(x):

Ox est un G-ensemble sous l'action de groupe appliquée à X tout entier:
car si y est dans Ox alors g.y est dans Ox également

Puisque stab(x) est un sous-groupe de G alors G/stab(x) est un G-ensemble avec l'action
Si aStab(x) appartient à G/stab(x) alors g.aStab(x)=gaStab(x).

On peut considérer l'application f définie par:
Ox -> G/stab(x)
y=g.x -> image dans G/stab(x) de g=gStab(x)

Cette application est bien définie:
en effet, si g' est tel que y=g'.x l'image dans G/stab(x) de g' est la même que celle de g.
Car y=g.x et y=g'.x alors g.x=g'.x donc [g^(-1)g'].x =x ce qui signifie que g^(-1)g' est dans stab(x) ce qui signifie que g et g' sont équivalents et donc ont la même image dans G/stab(x).

Si y=g'x
g.f(y)=g.f(g'x)=g.g'stab(x)=gg'.stab(x)
et f(g.y)=f(gg'.x)=gg'.stab(x)
f est donc un homomorphisme de G-ensembles

f est surjective:
Soit a.stab(x) un élément de G/stab(x).
f(a.x)=a.stab(x)

f est injective:
Si y=g.x et z=g'.x
Si f(y)=f(z) alors g^(-1)g' appartient à stab(x)
Si h=g^(-1)g' alors g'=gh z=g'.x=(gh).x=g.(h.x)=g.x=y

[kvf300]

Bonjour

Merci pour cette démonstration que je ne l'oublierai pas le jour de mon examen. Désolé pour " les orbites de x" je voulais dire l' orbite de x.