Forum - Licence de Mathématiques

[FDP]

Montrer qu'un p-groupe G a un centre non trivial.

indications: considérer l'action de groupe GxG: (a,x) a.x=g^(-1)xg et s'intéresser aux orbites des éléments du centre de G, Z(G) par cette action de groupe.

[FDP]

Montrer qu'un groupe d'ordre p², p premier, est abélien.

[FDP]

Dans la continuité de la question précédente:

Montrer qu'un groupe G d'ordre p², p premier, est, ou bien, soit isomorphe à (Z/p²Z,+) soit isomorphe à (Z/pZ x Z/pZ,+)

Indication: Considérer le cas où G est cyclique et le cas où G n'est pas cyclique.

[kvf300]

Alors j'ai bien une petite idée mais je ne suis pas trop sur de moi.

g € Z(G) <=> gx=xg <=> gxg^(1)=x <=> Stab(x) = G

Ox= { y € G | y=g.x } = { y € G | y=g^(-1)xg } = { y € G | y=x } = x
#G=p^n

D'après la formule aux classes on a :

#G= somme # Og = somme G/Stab(g) ( g€ Z(G) ) + somme G/Stab(g) ( g n'appartenant pas à Z(G) )

Stab(g)= { g € G| g.x=x} = { g € G | g^(-1)xg=x} = { g € G | xg=gx } = Z(G)

Donc #G=somme G/Z(G) (g € Z(G) ) + somme G/Z(G) ( g n'appartenant pas à Z(G)) = # Z(G) + somme G/Stab(g) ( g n'appartenant pas à Z(G))


Donc p^n=#Z(G)+ somme G/Stab(g) ( g n'appartenant pas à Z(G))

[G:Stab(g)] | p^n => [G:Stab(g)]=p^k, k<=n

somme [G:Stab(g)] est un multiple de p donc #Z(G) est un multiple de p

Or # Z(G)>= 1 donc #Z(G)>=p ie #Z(G)=p^k avec 1<=k<=n
Le centre de G est donc non trivial.

Y a t il des erreurs dans cette réflexion ?

Merci

[FDP]

g € Z(G) <=> gx=xg <=> gxg^(1)=x <=> Stab(x) = G

C'est mal rédigé.

x € Z(G) <=> pour tout g € Z(G) xg=gx <=> pour tout g de G, x=g^(-1)xg<=>pour tout g de G x=g.x<=>Stab(x)=G <=>Ox={x}



Le reste du raisonnement m'a l'air OK.

Il reste à faire la suite.

[kvf300]

Montrer qu'un groupe G d'ordre p², p premier, est abélien.

Soit Z(G) le centre de G, alors # Z(G) est p ou p² d'après ce que l'on a vu plus haut.

Si #Z(G)=p² on a G=Z(G) car Z(G) est inclus dans G et donc G est abélien.

Si #Z(G)=p, alors [G:Z(G)]=p ie #(G/Z(G))=p. Donc les seuls sous groupes de G/Z(G) sont 1 et p. Soit x € G/Z(G), x différent de l'élément neutre ( ici Z(G) ), donc <x> le sous groupe de G/Z(G) engendré par x est égal à G/Z(G) tout entier donc G/Z(G) est cyclique. Un petit passage par ici et G est abélien.

[kvf300]

Dans la continuité de la question précédente:

Montrer qu'un groupe G d'ordre p², p premier, est, ou bien, soit isomorphe à (Z/p²Z,+) soit isomorphe à (Z/pZ x Z/pZ,+)

Indication: Considérer le cas où G est cyclique et le cas où G n'est pas cyclique.

Soit G cyclique, il existe alors x tel que G=<x>, avec o(x)=p² alors G est isomorphe à Z/p²Z.
Soit G non cyclique, alors il n'existe pas d'élément a tel que o(a)p² donc les éléments de G autre que ceux d'ordre 1 sont d'ordre p.Soient x tel que o(x)=p et y tel que o(y)=p avec y n'appartenant pas à <x>.
On a: <x> isomorphe à Z/pZ et <y> isomorphe ) Z/pZ

1) <x>.<y>=G
2) <x>inter<y> a pour ordre un diviseur de p car c'est un sous groupe de G et il ne s'agit pas de <y> tout entier car y n'appartient pas à <x>. Donc <x>inter<y>={e}
3) Théorème: Soit G groupe, H sous groupe d'indice p, p le plus petit facteur premier de l'ordre de H, alors H est normal dans G. Ici on pose <x>=H et on a : <x> normal dans G et on a aussi <y> normal dans G.

Donc d'après 1) 2) 3), et d'après la caractérisation du produit direct on a G qui est isomorphe à Z/pZ x Z/pZ

Voila ce que je peux faire.

[FDP]

3) Théorème: Soit G groupe, H sous groupe d'indice p, p le plus petit facteur premier de l'ordre de H, alors H est normal dans G. Ici on pose <x>=H et on a : <x> normal dans G et on a aussi <y> normal dans G.

G est abélien comme démontré précédemment, tout sous-groupe de G est normal.