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[kvf300]

Bonjour

Enoncé: Soit H un groupe d'ordre 18, montrer qu'il contient un 3-sous groupe de Sylow distingué. Généraliser aux groupes d'ordres 2p² avec p premier impair. En déduire que ce sont tous des produits semi directs.

[FDP]

L'un des théorèmes de Sylow te garantit qu'il existe un 3-sous-groupe H de Sylow d'ordre 9 puisque 3^2 divise 18 et 3^3 ne divise pas 18.

l'ordre de G/H (qui n'est pas à priori un groupe) est deux.

Cela permet de conclure immédiatement que H est distingué dans G.

(c'est un cas particulier de ce que tu demandes de démontrer ailleurs sur ton forum)

En effet, puisque G/H et G\H ont même cardinal 2 et chacun a H comme élément.
Ce qui fait que si x n'est pas dans H: G/H=réunion disjointe de H et xH et G\H=réunion disjointe de H et Hx
Donc nécessairement: xH=Hx c'est à dire H=x^(-1)Hx ce qui signifie que H est distingué (normal) dans G.

Ce qui marche pour 18 peut être étendu à 2p^n , n>=1 et p impair.

[kvf300]

Merci pour cette explication. Je n'aurais pas pensé à [G:H].
Concernant le fait que ceci soit un cas particulier de ceci , c'est du au fait que " le plus petit nombre premier divisant l'ordre de G " c'est 2 ?

Merci de confirmer sinon je ne comprend pas pourquoi cette explication permet de répondre à l'autre question.

[FDP]

Concernant le fait que ceci soit un cas particulier de ceci , c'est du au fait que " le plus petit nombre premier divisant l'ordre de G " c'est 2 ?

Le théorème est le suivant:
Soit G un groupe fini, p le plus petit facteur premier de l'ordre de G, H un sous-groupe d'indice p (c'est à dire que le cardinal de G/H est p) alors H est distingué dans G.

Lorsque p=2 ce théorème a une démonstration "facile" que j'ai donné plus haut.

Si l'ordre de G est 2r^n, n>=1 et r premier, il existe un r-sous-groupe de Sylow H d'ordre r^n et son indice est 2.
Et on peut appliquer le théorème précédant.

PS:
J'ai un problème avec l'orthographe de Sylow.

[kvf300]

Merci pour ce théorème, je crois bien que je ne le connassais pas.
Merci aussi pour l'explication.

Concernant l'écriture de Sylow tu l'as bien orthographié. ( pas de h ou de s)