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[kvf300]

Bonjour

Enoncé: Soit G un groupe non abélien d'ordre 12. Soit H un 3-Sylow de G. On considère le morphisme f:G--> SG/H correspondant à l'action de G par translation de G sur G/H. Montrer que ce morphisme n'est pas injectif ssi H est distingué dans G ?

Alors je trouve Ker f = {g € G,xH € G/H | xHx^(-1)=e }= l'inter (xHx^(-1))}.
Ensuite mon application n'étant pas injective son noyau n'est pas réduit à {gx}.
Je pense qu'il faudrait utiliser le 2 ème théorème de Sylow qui dit que les p sous groupe de G sont 2 à 2 conjugués mais je ne vois pas comment faire.
J'imagine que l'on doit arriver à montrer que H est le seul 3-sylow pour conclure qu'il est distingué.

M'aurais t il été possible, en utilisant le 3ème théorème de Sylow de dire que le nombre de 3-Sylow est congru à 1mod 3 et que ce même nombre divise 4 et ainsi conclure qu'il n'existe qu'un seul 3-Sylow et ainsi dire qu'il est distingué de part un théorème du cours ?


Merci

[FDP]

Alors je trouve Ker f = {g € G,xH € G/H | xHx^(-1)=e }= l'inter (xHx^(-1))}.

Si H n'est pas distingué dans G l'application f:G--> G/H n'est pas un morphisme de groupes si on munit G/H du produit habituel. Par conséquent, le recours à kerf n'est pas pertinent.

[FDP]

Je suppose que le morphisme est en fait:

f: g de G ---> [G/H-->G/H]
g----> [xH-->gxH]

[kvf300]

Bonjour

Oui en effet l'application est en fait :

G x G/H ---> G/H
(g,xH) |---> gxH

Merci de m'aider pour une piste concernant le noyau je bloque vraiment.

[FDP]

Oui en effet l'application est en fait :

G x G/H ---> G/H
(g,xH) |---> gxH

G/H n'est pas un groupe avec la loi habituelle si H n'est pas distingué dans G.

[FDP]

Par contre,


S(G/H)=groupe des permutations sur l'ensemble des classes de G/H
f:G --> S(G/H)
f:g----> [ xH---->gxH]

[f(g)of(g')](xH)=f(g)[f(g')(xH)]=f(g)(g'xH)=gg'xH=[f(gg')](xH)

[FDP]

Dans le cas où H est distingué dans G,

Si h est dans H L'application:

G/H ---> G/H
xH------>hxH

est l'application identique.

car x et hx appartiennent à la même classe de G/H.

En effet: x^(-1)hx est dans H pour tout x puisque H est distingué dans G.

[FDP]

M'aurais t il été possible, en utilisant le 3ème théorème de Sylow de dire que le nombre de 3-Sylow est congru à 1mod 3 et que ce même nombre divise 4 et ainsi conclure qu'il n'existe qu'un seul 3-Sylow et ainsi dire qu'il est distingué de part un théorème du cours ?

Sauf que 4 mod 3=1 et 4 divise 4