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[kvf300]

Bonjour

Enoncé: Soit G un groupe d'ordre 399.

1) - Mq G admet un unique 19-Sylow P qui est ditingué dans G. OK
2) - Soit Q un 7-Sylow. Montrer que N=PQ est un sous groupe d'ordre 133 de G et que ce groupe est cyclique. OK
3) - On suppose que Q n'est pas distingué dans G. Mq G admet 57 sous groupe cycliques d'ordre 133 distincts deux à deux. Quel serait le nombre d'éléments d'ordre 133 dans G ? Aboutir à une contradiction. En déduire que Q est distingué dans G et que N est distingué dans G.

3) -
#G=19 x 7 x 3

Le nombre de 7-Sylow est égal à 1 mod 7 et divise 57, or Q n'est pas distingué donc le nombre de 7-Sylow n'est pas 1 et donc il y a 57 7-Sylow. Et à partir de là je bloque.

Merci

[FDP]

2) - Soit Q un 7-Sylow. Montrer que N=PQ est un sous groupe d'ordre 133 de G et que ce groupe est cyclique. OK

On se retrouve à utiliser le même raisonnement que pour montrer qu'un groupe d'ordre 35 est cyclique.

On sait que P est distingué dans G donc il est distingué dans N.
Le nombre de 7-Sylow de N divise 19 et est congru à 1 modulo 7. 19 est congru à 5 modulo 7 donc Q est distingué dans N (mais pas forcément dans G). On a deux sous-groupes qui sont distingués d'intersection réduite à l'élément neutre de G et N=PQ par définition donc N est isomorphe au produit direct de P et de Q qui sont respectivement isomorphe à Z/19Z et à Z/7Z. 7 et 19 sont premiers entre eux donc Z/19ZxZ/7Z est isomorphe à Z/133Z.

On montre que ou bien le nombre de 7-Sylow est 1 ou bien est 57 (qui est congru à 1 modulo 7)
S'il existe un 7-Sylow qui n'est pas distingué dans G alors il y en a 57 et on peut construire à partir de ces 57 7-sous-groupes de Sylow 57 sous-groupes cycliques d'ordre 133 dans lequel est inclus l'unique 19-sous-groupe de Sylow d'ordre 19.

Il faudrait voir pourquoi ces 57 sous-groupes cycliques d'ordre 133 sont distincts


Un élément d'ordre 133, qui est inclus dans un des sous-groupes cycliques d'ordre 133 vu précédemment, est le produit d'un élément de P qui n'est pas l'élément neutre par un élément d'un des 57 7-sous-groupes de Sylow qui n'est pas l'élément neutre (7 et 19 sont des nombres premiers)

Le nombre d'éléments d'ordre 133 est donc égal à 18x(57x6)=6156 ce qui est absurde donc il n'y a qu'un seul 7-sous-groupe de Sylow.