Forum - Licence de Mathématiques

[kvf300]

Bonjour

Peut on admettre en examen que les groupes d'ordre 2,3,4,5 sont commutatifs ou doit on le démontrer ? Si c'est le cas comment faire, merci.

[Jonny Hector]

Bonjour.

Pour commencer, peux-tu démontrer qu'un groupe d'ordre premier est nécéssairement abélien.

Jonny.

Il n'y a pas de LaTeX sur ce forum ?

[kvf300]

Bonjour

N'ayant pas les moyens de payer un serveur dédié, je ne peux malheureusement pas installer LaTeX sur ce forum.
Concernant la démonstration, j'ai pensé à ça:

Soit G un groupe d'ordre p premier. D'après Lagrange, on a #Z(G) | p, => #Z(G)= 1 ou p.
Soit x € Z(G), Z(G) étant un sg de G on a e € Z(G), donc #Z(G) > 1, => #Z(G)=p.
Z(G) est un sg de G et #Z(G) = #G donc G=Z(G) et mon groupe est abélien.

Merci de me dire s'il y a une erreur dans mon raisonnement.

kvf300

[Jonny Hector]

Je ne vois pas pourquoi tu aurais #Z(G)>1 du simple fait que e appartient à Z(G).
Mais, pour poursuivre ton raisonnement, que peux-tu dire du groupe engendré par un seul élément ?

Jonny.

[kvf300]

Si je suppose que x € Z(G) avec x différent de e avec Z(G) sg de G j'ai bien au moins deux éléments ds Z(G) donc #Z(G)>1, non ?
Concernant le groupe engendré par un élément x différent de e, on a o(x)=1 ou p, si o(x)=1 alors x=e or x différent de e donc o(x)=p donc le cardinale de ce groupe est p mais je ne vois pas ou tu veux en venir.

[FDP]

- Quelle est la nature d'un sous-groupe cyclique?

- Si le sous-groupe engendré par un élément x de G (qui est d'ordre p premier par hypothèse) a pour ordre p quelle conclusion en tirer?

[kvf300]

Je ne vois pas quoi répondre aux deux questions.
Un sg cyclique est engendré par un élément ?
Pour la 2ème question le sg engendré par x est donc G tout entier ?

Non je ne vois pas.

[FDP]

Pour la 2ème question le sg engendré par x est donc G tout entier ?

Oui.

Un groupe cyclique est abélien (commutatif)