Forum - Licence de Mathématiques

[FDP]

Le centre d'un groupe G est l'ensemble Z défini par: Z={u de G tel que pour tout g de G ug=gu}
Il est facile de montrer que c'est un sous-groupe et qu'il est distingué dans G.
(C'est le sous-groupe des éléments de G qui commutent avec tous les éléments de G)

On suppose que G/Z est cyclique montrer que G est abélien.

[kvf300]

On sait déjà que Z(G) est un sous groupe de G donc Z(G) est inclus dans G.

Montrons que G est inclus dans Z(G)

Soit g € G, montrons que pour tout g' € G gg'=g'g

Si G/Z(G) est cyclique, il est abélien. Donc pour tout élément g € G et tout z € Z(G) gz=zg ie g=zgz^(-1)

gg'=zgz^(-1)zg'z^(-1)=zgg'z^(-1)=zg'gz^(-1)=zg'z^(-1)g=g'zz^(-1)g=g'g

[FDP]

Si G/Z(G) est cyclique, il est abélien. Donc pour tout élément g € G et tout z € Z(G) gz=zg ie g=zgz^(-1)

Si un élément z de Z(G) commute avec tout élément g de G c'est par définition du centre Z(G) de G.
Le "donc" est malvenu, en fait, tu n'utilises pas l'hypothèse que G/G(Z) est cyclique.

zgg'z^(-1)=zg'gz^(-1)

C'est quoi ce tour de passe-passe?

Que veux-dire que G/Z(G) est cyclique?

Cela veut dire qu'il existe un entier k et un élément a de G tels que:

Les classes de G/Z(G) sont Z(G),aZ(G),a^2Z(G),...,a^(k-1)Z(G)

Que veux-dire qu'un élément g de G est dans a^iZ(G) pour 0<=i<k ?

[kvf300]

C'est vrai que je n'avais pas à faire cela.

zgg'z^(-1)=zg'gz^(-1)

Que veux-dire qu'un élément g de G est dans a^iZ(G) pour 0<=i<k ?

Ca veut dire que quelque soit g' € G, a^(i)gg'=g'a^(i)g

Mais là je vois pas trop

[FDP]

Que veux-dire qu'un élément g de G est dans a^iZ(G) pour 0<=i<k ?

Cela veut dire qu'il existe z de Z(G) tel que g=(a^i)z

Maintenant pour finir l'exercice tu considères x et y de G et tu utilises ce que je viens d'écrire.

[kvf300]

x € a^(i)Z(G) <=> il existe z € Z(G) tel que x=a^(l)z
y € a^(i)Z(G) <=> il existe z' € Z(G) tel que x=a^(m)z'

xy=a^(l)za^(m)z'=za^(l)a^(m)z'=za^(lm)z'=za^(m)a^(l)z'=a^(m)za^(l)z'=a^(m)a^(l)zz'=a^(m)a^(l)z'z=a^(m)z'a^(l)z=yx

C'est comme cela qu'il fallait faire ?

[FDP]

y € a^(i)Z(G) <=> il existe z' € Z(G) tel que x=a^(m)z'

Je suppose que c'est une erreur de frappe.

xy=a^(l)za^(m)z'=za^(l)a^(m)z'=za^(lm)z'=za^(m)a^(l)z'=a^(m)za^(l)z'=a^(m)a^(l)zz'=a^(m)a^(l)z'z=a^(m)z'a^(l)z=yx

Un peu désordonné mais l'idée est bien que z,z',a^(i),a^(m) commutent deux à deux.


C'est plus simple comme cela:
a^(i)z.a^(m)z'=a^(i)a^(m)zz'=a^(i)a^(m)z'z=a^(m)a^(i)z'z=a^(m)z'a(i)z