Forum - Licence de Mathématiques

[kvf300]

Bonjour

Soit une proposition:

" Soient X et Y 2 ensembles sur lesquels agit G, G un groupe. f:X ---> Y est compatible avec l'action de G si pour tout élément x de X et tout élément g de G, f(g.x) = g.f(x) "

je n'arrive pas à reproduire ceci à f: G/H ---> G/K avec H,K sous groupe de G.


Merci

[FDP]

si le cardinal de G/H est n alors il existe a[0],...,a[n-1] tel que G/H={a[0]H,a[1]H,...,a[n-1]H}
a[0]H,...,a[n-1]H étant disjoints deux à deux. (l'un des a[i] est l'élément neutre de G et donc pour ce i a[i]H=H)

De la même façon si le cardinal de G/K est m alors il existe b[0],b[1],...,b[m-1] tel que G/K={b[0]K,b[1]K,...,b[m-1]K}
b[0]K,...,b[m-1]K étant disjoints deux à deux (l'un des b[i] est l'élément neutre de G et donc pour ce i b[i]K=K)

Une application de G/H vers G/K est la donnée d'une application de {a[0],...,a[n-1]} vers {b[0],...,b[m-1]}
Pour savoir si cette application est une application de G-ensembles il faut avoir des renseignements supplémentaires sur H,K,G.

[kvf300]

Lorsque je dis que je n'arrive pas à reproduire ceci à f: G/H ---> G/K, c'est que je n'arrive pas à trouver une relation du type f(g.x) = g.f(x) lorsque f:X ---> Y.

Néanmoins tu as raison il manque bien quelque chose concernant H et K, la question est:
Montrer qu'il existe une application f: G/H ---> G/K compatible avec l'action de G ssi H est contenu dans un conjugué de K.

Souvent devant une question de ce type je ne sais jamais quoi faire pour commencer, à quoi penses tu pour répondre à une telle question ? Quelle est la chose à faire ?
Ici comme je l'ai dis plus haut je ne sais pas traduire le fait que f: G/H ---> G/K soit compatible avec l'action de G .

[FDP]

Cela doit être le même type de trafic que de montrer que G/H (muni de la loi aH.bH=ab.H) est un groupe si-si H est distingué dans G.

[FDP]

Pour que l'application G/H: xH->xK dans G/K soit bien définie il faut que si x^(-1)y est dans H alors x^(-1)y est dans K
(l'application ne doit pas dépendre du représentant choisi pour chaque classe d'équivalence de G/H)

[kvf300]

Cette matière est la matière qui me pose le plus de problème cette année et il y a des fois où je ne comprend pas du tout la signification de certaine phrase. En locurrence , je ne comprend pas du tout ceci:

"dépendre du représentant choisi pour chaque classe d'équivalence" ( et pourtant je le vois souvent dans les livres mais je n'arrive jamais à la comprendre)

Merci

[FDP]

Lorsqu'on considère des classes d'équivalence c'est pour pouvoir considérer chaque classe, non plus comme un sous-ensemble, mais comme un unique élément.

Cette idée on la retrouve à l'oeuvre dans Q.
Une infinité de fractions peuvent représenter le même nombre réel: exemple 2/3 et 10/15
Pour restaurer une forme d'unicité on introduit la relation d'équivalence a/b=a'/b' <=>ab'=a'b (b et b' non nuls)
Chaque classe d'équivalence représente ainsi un réel et un seul.

un vecteur du plan a plusieurs représentants mais on le considère comme un objet unique.

Quand j'étais en troisième, les vecteurs du plan étaient définis comme étant les classes d'équivalence de la relation d"équipollence:

"deux bipoints (A,B) et (C,D) sont dits équipollents si ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati"
http://fr.wikipedia.org/wiki/Parall%C3%A9logramme

Il faut dire qu'en 6ème ou en 5ème était défini abstraitement ce qu'était une classe d'équivalence.


Quand on quotiente un groupe G par un sous-groupe H, en particulier , c'est dans le but de confondre tous les éléments de H, c'est à dire que H est considéré comme un seul objet, comme un seul point.

Mais en pratique on ne connait une classe d'équivalence de G/H que par un représentant, c'est à dire un élément de cette classe. si x est un tel représentant xH est la classe tout entière (c'est à dire l'ensemble des éléments de la forme xh où h parcourt H). g et g' sont dans la même classe d'équivalence de G/H si et seulement si g^(-1)g' est dans H.

Si H et K sont des sous-groupes de G
On peut essayer de définir l'application
G/H ->G/K
aH -> aK

Mais pour que cette application soit bien définie il faut que si je remplace a par un autre élément b équivalent
(c'est à dire que a^(-1)b appartient à H, c'est à dire que aH=bH) il faut que bK soit égal à aK c'est à dire que a et b soient équivalents par la relation d'équivalence qui définit G/K.

L'application ne doit pas dépendre du représentant choisi pour chaque classe de G/H.
(en fait si c'était le cas, ce serait impropre de parler d'application pour cette correspondance, il n'y aurait pas d'image unique)

PS:
L'ambiguïté de la notation xH est qu'en même temps elle désigne une multitude (vu comme un sous-ensemble)
et un objet unique, une classe d'équivalence de G/H.

[kvf300]

Merci pour cette explication toujours aussi claire.
Si j'ai bien compris, pour montrer qu'une application f est bien définie, avec f:G ---> G/H avec G groupe et H sous groupe de G, je vais devoir montrer que la classe d'équivalence de G/H ne dépend pas du représentant choisi. C'est à dire que je vais devoir montrer que si xH=yH alors xy^(-1) € H ?

Merci de confirmer ou non ma proposition.

PS: Où as tu entendu parlé de mon forum ?

[FDP]

Si j'ai bien compris, pour montrer qu'une application f est bien définie, avec f:G ---> G/H avec G groupe et H sous groupe de G, je vais devoir montrer que la classe d'équivalence de G/H ne dépend pas du représentant choisi.

Non pas dans le cas que tu mentionnes.
Je suppose que ton application est la surjection canonique qui à tout élément de G associe sa classe dans G/H.

Cette définition ne comporte pas d'ambiguïté, c'est bien une application.
(et un homomorphisme de groupes si H est distingué dans G)

Ce qui n'est pas du tout le cas si tu considères l'application:

G/K ----> G/H
aK -----> aH (H,K sous-groupes de G)

La définition de cette application utilise explicitement le recours à un représentant de chaque classe de G/K


Cette application n'est pas une application de aK (qui est un sous-ensemble de G) vers aH (qui est aussi un sous-ensemble de G)
Mais une application de G/K vers G/H. Dans cette optique aK et aH ne sont pas vus (seulement) comme des sous-ensembles mais comme des points de G/K et G/H respectivement.

Pour que cette application de G/K---->G/H soit une application il faut que si on prend deux représentants d'une classe, a et b, leur image soit la même c'est à dire qu'elle soit dans la même classe de G/H c'est à dire que aH=bH

PS:
J'ai connu ton forum sur http://www.les-maths.net/phorum/