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[kvf300]

Bonjour

Enoncé: Soit H un espace de Hilbert complexe. Montrer que si P € Lc(H) vérifie P²=P et P*=P, alors P est un projecteur orthogonal sur un sous espace vectoriel fermé.

Je vois bien que P est un projecteur de part la relation P²=P mais je ne vois comment montrer la suite. J'ai bien pensé au théorème de projection sur un sous espace vectoriel fermé mais là il s'agit de trouver ce sous espace vectoriel fermé donc je ne sais pas quoi faire.

Merci de m'aider.

[kvf300]

Si ça peut servir tant mieux, je viens de trouver une solution qui a l'air de fonctionner.

Alors déjà un projecteur p est toujours un projecteur sur Im p parallèlement à Ker p. Donc pour mq p est un projecteur orthogonal on va mq Im p et et Ker p sont orthogonaux et pour mq c'est sur un sev fermé on va mq Im p est fermé.

# Montrons que Im p et Ker p sont orthogonaux.

Soit x € Im p (cad il existe z € H tel que p(z)=x )et y € Ker p ( cad p(y)=0) mq <x,y>=0
<x,y>=<p(z),y>=<z,p*(y)>=<z,p(y)>=0 (je rapelle que dans l'énoncé on a l'hypothèse p*=p )
Donc Im p et Ker p sont orthogonaux.

# Montrons que Im p = Ker ( Id -p)
## Montrons que Imp p est inclut dans Ker(Ip-p)

Soit x € Im p, il existe y € H tel que p(y)=x.
Montrons que p(y) € Ker (Id-p) cad montrons que p(y) -p(p(y)) =0 . Or p(y)-p(p(y))=p(y)-p(y)=0 ( car p²=p d'après l'énoncé)
Donc Imp p est inclut dans Ker(Ip-p)

## Montrons que Ker(Id-p) est inclut dans Im p

Soit x € Ker(Id-p) => x=p(x) et montrons qu'il existe y € H tel que p(y)=x et y=x convient.
Donc Ker(Id-p) est inclut dans Im p

CCL: Donc Im p = Ker (Id -p)

J'ai bien essayé avec Ker p mais je n'aboutis à rien, donc j'ai pris Ker (Id - p) en pensant qu'il pourrait y avoir des arrangements de part l'énoncé ( p*=p et p²=p)

On pose f=Id - p
Id est la fonction identité qui est bien continue, de plus d'après l'énoncé p est aussi continue donc la fonction f est continue.

Ker f = { x € H | f(x)=0H }=f^(-1)({0H})

{0H} étant un fermé de H, Ker f est l'image réciproque d'un fermé par une application continue donc Ker (Id - p) est un fermé or Ker (Id - p) = Im p donc Im p est un fermé.

Donc P est un projecteur orthogonal sur un sous espace vectoriel fermé.