Examen Groupes | Centre - Classe à gauche

Thèmes :

Exercice 1: Groupe abélien / Sous groupe normal
Exercice 2: Sous groupe d’indice 2 / Sous groupe normal
Exercice 3: Centre d’un groupe / Sous groupe normal / G/Z(G) / Groupe cyclique
Exercice 4: Groupe d’ordre p² / Groupe abélien isomorphe soit à Z/p²Z soit à Z/pZ x Z/pZ
Exercice 5: Ensemble des classes à gauche / Morphisme de groupe / Noyau / Indice d’un sous groupe / G/Ker f
Exercice 6: Groupe des quaternions / Matrice carrées / Corps des nombres complexes / Groupe multiplicatif / Ordre d’un élément / Sous groupe normaux
Problème: Groupe non abélien / Centre / Ordre d’un élément / Sous groupe normal / Groupe quotient / Groupe isomorphe / Groupe diédral

Extrait :

Examen Groupes | Centre – Classe à gauche

Exercise 1

Montrer qu’un groupe dont tous les éléments distincts de 1’élément neutre sont d’ordre 2 est
abélien. ( Considérer l’inverse de xy de deux facons diﬁérentes)

Montrer qu’un tel groupe est d’ordre une puissance de 2.

Exercice 2 : Soit G un groupe, H un sous-groupe de G d’indice 2.
Montrer que H est normal dans G

Exercice 3 Montrer que le centre Z(G) d’un groupe G est un sous-groupe normal de G
Montrer que G/Z(G) est cyclique si et seulement si G =Z(G).

Exercice 4 Soit p un nombre premier.
Montrer qu’un groupe d’ordre ${ p }^{ 2 }$ est abélien isomorphe soit à $Z/{ p }^{ 2 }Z$ soit à Z/pZ xZ/pZ
Exercice 5 Soit H un sous-groupe de G, on note G/H l’ensemble des classes à gauche xH de G
modulo H
Montrer qu’on déﬁnit une opération de G sur G/H par1’application
G xG/H —> G/H
(g,xH) F-> gxH
Quel est le morphisme de groupes $\Phi$ associé à cette opération ?
Montrer que le noyau de ce morphisme est :
Montrer que si p est le plus petit nombre premier divisant 1’ordre de G et si H est d’indice p
alors H est normal dans G. (On pourra étudier le groupe G/ker $\phi$
Exercice 6 Le groupe des quaternions
On rappelle que $G{ L }_{ 2 }$ (C) désigne l’ensemble des matrices carrées 2×2 à coefficients dans le
corps des nombres complexes C de determinant non nul.
Montrer que $G{ L }_{ 2 }$ (C) est un groupe multiplicatif.
On considère le sous-groupe ${ H }_{ 8 }$ de $G{ L }_{ 2 }$ (C) engendré par les deux matrices
$A=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
$B=\begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}$
Montrer que ${ H }_{ 8 }={ \pm /,\pm A,\pm B,\pm AB }$
Déterminer l’ordre de chaque element de H3 et ses sous-groupes.
Quels sont les sous-groupes normaux de ${ H }_{ 8 }$ ?
${ H }_{ 8 }$ est appelé groupe des quaternions.
Probléme : Les groupes d’ordre 8
Soit G un groupc non abélien d’ordre 8
1. Justiﬁer le fait que son centre Z(G) est nontrivial.
2. Montrer que l’ordre de son centre est 2.
3. Montrer que G contient au moins un élément h d’ordre 4 .
On note H=
4. Montrer que H est normal dans G.
5. Soit g un élément de G n’appartenant pas à H.
a) Montrer en utilisant le groupe quotient G/H que ${ g }^{ 2 }$ apparient à H et que l’on a soit
${ g }^{ 2 }=e$ , soit ${ g }^{ 2 }={ h }^{ 2 }$