Calcul Formel • Examens / Partiels

Examen Calcul Formel – Maple | Décomposition LU – Matrice Carrée

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par Erwin BORD

Thèmes :

Exercice 1: Approximation d’une intégrale par la méthode de Simpson / Polynôme de Simpson / Approximation de l’intégrale
Exercice 2: Décomposition LU / Matrice inversible / Matrice carré / Matrice triangulaire inférieure à diagonale unité

Extrait :

Examen Calcul Formel – Maple | Décomposition LU – Matrice Carrée

L2 MI- Maths Année 2006-2007
Mai 2007

Suites et séries de fonclions
Exercice 1

On se propose d’étudier la série de fonctions \sum { \frac { 1 }{ n } } sin(\frac { x }{ n } ) où x ∈ ℝ

1. Montrer que |sin x|≤|x| pour tout réel x.

2. Pour quelles valeurs de x Ia série est-elle convergente?
On note alors S(x) sa somme.

3. La série converge-t-elle uniformément sur tout intervalle [-a, a] où à est un nombre réel strictement positif ?

4. Démontrer que pour tout entier p>0, on a :
\sum _{ q=p }^{ q=2p }{ \frac { 1 }{ q } } \ge \frac { 1 }{ 2 }
5. Démontrer que pour tout entier p>0, on a :
\sum _{ q=p }^{ q=2p }{ \frac { 1 }{ q } } sin(\frac { p }{ q } \frac { \pi }{ 2 } )\ge \frac { 1 }{ 2 }
6. La série converge-t-elle uniformément sur ℝ ?
7. La fonction S est-elle indéfiniment dérivable ?

8. La série de Taylor de S en zéro converge t-elle sur ℝ tout entier ?

Exercice 2
On considère l’équation différentielle (E) suivante :
xy′′+2y′+xy=0 avec y(0)=1

On suppose que cette équation admet une solution y développable en série entiére dans

-H11
un intervalle [-ℝ, ℝ] où ℝ est un réel strictement positif. On écrit alors y(x)=\sum _{ n=0 }^{ +\infty }{ { a }_{ n } } { x }^{ n }
1. Calculer a₀.
2. Calculer a₁ puis déterminer une relation entre { a }_{ n+1 } et $latx { a }_{ n-1 }$ pour n>0.
3. Déduire de questions précédentes la valeur de { a }_{ n }, et le développement de y

4. Déterminer le rayon de convergence de la série \sum _{ k=0 }^{ +\infty }{ \frac { (-1{ ) }^{ k } }{ (2k+1)! } } { x }^{ k } , puis le rayon de
convergence de la solution y.
5. Exprimer y 51 l’aide de la fonction sinus.

Exercice 3

Soit f la fonction 2_pi-périodique impaire définie par :

Rx): fig):

1. Tracer le graphe de la fonction f sur l’intervalle f(x)=\frac { \pi -x }{ 2 } sur [0, \pi]
2. Calculer les coefficients de Fourier et la série de Fourier de f
3. En déduire la valeur de \sum _{ n=1 }^{ +\infty }{ \frac { sinn }{ n } }
On considère la fonction 2\pi—périodique impaire g définie par
g(x) = xf(1) pour x ∈ [0, 1]
et g(x)= f(x) pour x ∈ [ l,\pi ]

4. Tracer le graphe de la fonction g sur l’intervalle [ -2\pi, 2\pi ]

5. Calculer les coefficients de Fourier et la série de Fourier de g.

6. En déduire la valeur de .
\sum _{ n=1 }^{ +\infty }{ (\frac { sinn }{ n } } { ) }^{ 2 }
7. Déduire de ce qui précéde l’égalite’ :
\sum _{ n=1 }^{ +\infty }{ \frac { sinn }{ n } } =\sum _{ n=1 }^{ +\infty }{ (\frac { sinn }{ n } } { ) }^{ 2 }

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