Suites et Séries de Fonctions

Examen Suites et Séries de Fonctions | Série de Fourier – Convergence uniforme

Thèmes:

Exercice 1: Convergence simple / Série / Convergence uniforme / Classe d’une fonction /
Exercice 2: Fonction périodique / Continuité / Dérivabilité / Série de Fourier / Coefficients de Fourier / Coefficients trigonométriques

Extrait:

Exercice 1
On considère la série de terme général fn définie sur R par
1) Montrer que la série converge simplement sur R. On note f sa somme.
2) Montrer que la série converge uniformément sur tous les segments de R.
3) Montrer que f est de classe C1 sur R.
4) a) Montrer que pour tout x positif et tout entier n supérieur ou égal à 1
b) Déterminer la limite
5) a) Soit x<0, montrer que pour tout entier n>=1 tel que
b) En déduire le comportement de f(x)/x quand x tend vers moins l’infini

Exercice 2
Soit a et b deux réels.
On considère la fonction f 2pi périodique impaire telle que f(x)=min(ax,b(pi-x)) pour tout x de [0,pi].
1) Tracer le graphe de f sur l’intervalle [-pi;pi] et étudier sa continuité et sa dérivabilité.
2) Que peut-on dire de la convergence de la série de Fourier de f ?
3) Calculer les coefficients de Fourier de type trigonométrique de f.
4) En déduire que pour tout x de [0,c] on a:

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