Examen Suites et Séries de Fonctions | Série de Fourier - Convergence uniforme

Thèmes :

Exercice 1: Convergence simple / Série / Convergence uniforme / Classe d’une fonction /
Exercice 2: Fonction périodique / Continuité / Dérivabilité / Série de Fourier / Coefficients de Fourier / Coefficients trigonométriques

Extrait :

Examen Suites et Séries de Fonctions | Série de Fourier – Convergence uniforme

Exercice 1

On considère la série de fonctions de terme général ${ f }_{ n }$ , déﬁnie sur ℝ par

${ f }_{ n }(x)=\frac { x }{ n(1+n{ e }^{ x }) }$ pour n>0

1. Montrer que la série $\left( \sum { { f }_{ n } } \right)$ converge simplement sur ℝ. On note f sa somme:
$\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { f }_{ n }(x) }$ pour tout x réel

2. Montrer que la série $\left( \sum { { f }^{ , }n } \right)$ converge uniformément sur tous les segments de ℝ
3. Montrer que f est de classe C₁ sur ℝ.
4 a) Montrer que pour tout x ≥ 0 et tout entier n ≥ 1,
$0\le { f }_{ n }(x)\le \frac { x }{ { n }^{ 2 }{ e }^{ x } }$
4 b) Déterminer
$\lim _{ x\rightarrow +\infty }{ f(x) }$
5. a) Soit x < 0, montrer que pour tout entier n ≥ 1 tel que b) En déduire le comportement de quand x tend vers -∞ Exercice 2 Soit 0 On considère la fonction f 2-périodique impair: tells que f (x) = min(ax, b( — x)) pour tout x ∈ [0, ] 1'1. Tracer Ie graphe de f sur l’intervalle ∈ et étudier sa continuité et sa dérivabilité. 2.2 Que pent-on dire de la convergence de la série de Fourier de f ? 2.3.Calc'u1er les coeﬁicients de Fourier de type trigonomé trique de f. 2.4.En déduire que pour tout x ∈ [0,c] on a :